27수능에서 각자의 스토리를 써나갈 여러분들을 응원합니다.

반갑습니다:) 이전에 약속드렸던 미적분 테마 정리로 돌아온 이시온입니다. 오늘 정리해볼 테마는 정말 다양합니다. 올해 6월, 9월에 출제된 기출들을 바탕으로 연관기출을 살펴보면서 핵심 주제들을 정리할 것입니다.
연관기출은 제가 직접 만든 기출 교재에서 가져왔습니다. 또한, 풀이는 기존에 제가 정말 공을 들여서 정리해놓은 풀이를 폰트 변환을 통해 다듬어서 완성했습니다. 예전부터 제가 손글씨를 컴퓨터로 작성하는걸 꼭 한 번 해보고 싶어서 5시간 넘게 작업했습니다. 이번 작업물은 앞으로 제가 만들 교재의 샘플이고, 내년부터 본격적으로 이것과 유사한 작업물을 만들어내지 않을까 싶습니다. 저의 최종 목표는 고퀄의 수능수학 컨텐츠를 만들어보는 것입니다. 학생분들께서 보시고 이번 작업물에 대한 반응이 괜찮다면, 올해 6/9모 공통 기출도 비슷한 방식으로 작업해서 이번주 내로 배포해보겠습니다.

#6월 주제
28: 역함수 미분 or 음함수(매개변수) 미분이라고 볼 수 있습니다. 가장 좋은건 역함수 관계를 발견해서 푸는 것이고, 그러지 못했을 때는 음함수 미분으로 밀면 되는데 어느 풀이로 가나 큰 차이는 없다고 생각합니다. 실전에서 시야가 좁아지는걸 고려했을 때는 음함수 미분이 현실적이지 않나 싶습니다.

29: 최근 출제된 급수중에선 가장 어렵습니다. 작년 9모 29번, 올해 6모 29번을 보면 모두 자연수, 유리수, 정수와 같은 숫자놀이를 굉장히 잘 활용했습니다. 올해 수능에서 급수가 어려워진다면, 이런 형태가 나올 수 있지 않을까 싶습니다. 즉, 단순한 미적분 급수 문항이 아니라 수학i의 정수론적인 관점을 결합한 흥미로운 문제가 탄생할 수 있다는 것이죠. 그렇기 때문에 고1수학이 베이스가 되는 정수,자연수,유리수에 대한 문제풀이 감각이 충분히 훈련돼있어야 할 것입니다. 훈련은 다양한 사설 모의고사 및 n제를 통해 스스로 채워주셔야만 합니다. 매년 급수의 난이도는 상승하고 있지만, 상위권 학생들은 급수에서 결코 틀리지 않습니다. 그만큼 급수가 기본적으로 점수를 따가야 할 유형이란 것이죠.

30: 합성함수의 미분가능성을 판정하는 문항입니다. 하지만, 이 문항은 차수논리 딸깍입니다. 작년 6모 28, 작년 9모 28번 문항을 충실히 학습했다면 올해 6모 30번은 차수논리로 쉽게 풀었을 것입니다. x^(1/3)은 x=0에서 미분 불가능하므로, 여기에 3차 이상이 속함수로 합성돼야만 합성함수가 미분가능해집니다. 이러한 내용은 작년 9월 모의고사에서도 적용이 되고, 이를 부분 역함수로 본다면 좀 더 직관적으로 이해해볼 수 있지 않을까 싶습니다. 작년 9월 모의고사 28번에 대한 심층 분석은 제 qcc중 한 칼럼에도 있으니 이 부분을 참고해주시면 좋을 것 같아요. 작년에도 6.9모에만 나오다가 수능에는 안나온 주제인데 올해 수능에 낼지는 잘 모르겠습니다. 차수논리는 사교육을 받은 학생이 유리한 면이 있기 때문에 안나올 가능성이 크지 않을까 생각합니다. 하지만, 합성함수의 미분가능성 자체는 차수논리 없이도 자주 나오던 주제이니 꼭 학습을 해둡시다.


#9월 주제
27: 어렵게 내면 한없이 어려운 합성함수 항등식 유형입니다. 놀랍게도 9월 모의고사에서 가장 어려운 문항이었습니다. 그럼에도 불구하고 정답률이 높은데 이건 사실 just 수식 계산으로도 어느정도 풀 수 있기 때문입니다. 하지만, 교점함수 또는 부분역함수의 관점으로도 해석해볼 수 있고, 이와 비슷한 주제가 240628에 출제됐으니 얼마든지 업그레이드해서 수능날 어렵게 나올 수 있는 유형입니다. 이 풀이가 이 문항에선 비효율적일 수 있지만, 확장성을 생각했을 땐 유용할거란 생각이 듭니다

28: 6모와 비슷한 주제로 출제된 음함수(매개변수) 미분입니다. 도형에서 미지수를 잡고 음함수 미분을 하는 문항은 24학년도 9모 30번에도 출제됐기 때문에 충분히 익숙한 기출소재입니다. 그러나 이번 문항은 계산량이 많았기 때문에 많은 학생들이 고전했을거라 예상이 됩니다. 6,9모 모두 이 주제를 출제했지만, 수능은 어떻게 될지 모르는겁니다. 보통 수능에서 새로운 주제를 출제한 경우도 많으니 이 주제를 가본으로 챙겨가되, 너무 이것만 파진 않으시길 바라요!

29: 정말 무난한 급수였습니다. 급수가 1세대 2세대 3세대 이런식으로 진화했다고 가정해보면, 이 문항은 1세대 급수문항과 유사합니다. 즉, 기출만 제대로 학습하면 절대 안틀렸을 문항입니다.

30: just 국밥 역함수 적분 퍼즐입니다. 어떠한 해석도 요구하지 않고 그냥 치환하고 계산으로 밀면 답이 나왔을 문항입니다. 이건 기출 변형 수준에 가깝고 이전에 출제된 22수능 30번을 풀어봤다면, 쉽게 해결했을 역함수 적분입니다. 미적분은 항상 중요한게 기출입니다. 미적분은 매년 대부분 문항이 기출소재 재활용으로 출제되니 꼭 기출을 복습해보는 시간을 가져봐요!


주제 정리
1. 급수: 국밥 유형, 최근에는 수i 문제로 진화하고 있으니 기본적인 수열 실력도 키우자!

2. 음함수(매개변수) 미분 or 역함수 미분: 기출에는 음함수 미분, 역함수 미분 두 풀이를 모두 사용 가능한 문항들이 많으니 꼭 둘 다 연습해두자! 음함수 미분은 관계식 세우고 라이프니츠 미분, 역함수는 =t꼴 만들고 뉴턴 미분하는게 핵심!

3. 적분 퍼즐(역함수 적분) : 역함수 g(x)가 나오면 치환, 합성함수 꼴 나오면 속함수의 도함수가 곱해져있는 꼴을 잘 관찰하자! 퍼즐에서 제일 중요한건 "구하는 값"에 주목하는 것이다.

4. 합성함수 항등식(부분역함수, 교점함수, 차수논리): 미적분 최고난도 문항이 나오는 유형이다. 시험장에선 맨 마지막에 풀도록 하자. 항등식은 좌변과 우변의 함수가 같은 성질을 가지고, 양변을 미분/적분해볼 수 있단 것이 핵심이다. 합성함수의 미분가능성을 물어볼 땐 차수논리가 유용하니 알아두도록 하자.

이 4개 중에 하나만큼은 수능날 꼭 낼거라고 생각이 듭니다. 보통 주제를 다 겹치게 내지는 않고 한 두 개정도를 수능까지 끌고가니 이 주제 외에도 다양한 주제를 학습해보시길 바랍니다.




















합성함수의 증가/감소 및 극대/극소에 관한 기본 성질은 반드시 알고 있어야합니다!




제일 현실적인 풀이는 합성함수 양변 미분해서 f'(ㅠ)=0인걸 발견하는 것인데, 더 빠른 풀이로는 역함수의 미분가능성을 따져보는 것입니다. 솔직히 이건 미적분 선택자 중 10% 정도만 소화가 가능한 내용일거라 생각이 드네요.





역함수는 일대일대응일 때 생기는데, 증가만 하거나 감소만 하는 특정 구간 안에서만 역함수를 "부분적으로" 취할 수 있습니다! 그래서 우린 이걸 "부분 역함수"라고 부릅니다.



i(f(x))=g(x)는 항등식이므로 좌변의 함수가 최솟값을 -1로 가지므로 g(x)도 최솟값 -1을 가질 수밖에 없습니다.(by 사잇값 정리)



각 미지수를 theta와 alpha로 2개를 잡으면 되는데, 이 변수들은 t에 관한 함수라고 볼 수 있습니다. 즉, t가 독립변수일 때 저 2개는 t에 의한 종속변수인 것이죠. 결국 t 하나로 전부 표현할 수 있는 변수들입니다.



이번엔 선분의 길이를 변수 x로 설정했는데 이는 각 변수인 theta에 종속된 변수입니다. 즉 theta에 대한 음함수 미분을 하면 수월하게 풀리는 문항입니다.



감각적인 직관으로 b2가 음수인걸 찾았다면 훨씬 빨리 해결이 가능했을 문항일거라 생각이 듭니다.




현재 단골 유형으로 출제되는 급수 문항이 처음 등장할 때의 모습입니다. 원래는 27번에 프랙탈로 출제되던 수열의 극한 단원이 4점으로 신분 상승한 revolution이 24학년도 6모에서 일어났습니다.




지수 식조작을 하면 복잡해보이는 적분식을 쉽게 지울 수 있는 문항이었습니다.




22수능 미적분 30번에 출제된 문항입니다. 여기서도 역함수를 치환하고 식조작 하는게 핵심이었습니다. 여기선 구간 사이즈가 2배씩 확대되는게 인상적이죠. 확대/축소는 미적분에서도 단골 소재니깐 꼭 알고 있어야해요!





이번에 보여드린 풀이는 어려운 스킬을 사용한 것이 많습니다. 너무 어려운 경우엔 쉬운 풀이만 가져가셔도 좋습니다. 어디까지나 미적분에서 다양한 풀이가 가능하단걸 보여드리기 위한 것이지, 이런 풀이들이 필수라는 것은 아닙니다.

특히 미적분 킬러가 자신 없으시다면 합성함수 항등식 유형은 과감히 버리셔도 좋습니다. 이 유형은 버려도 충분히 백분위 잘나와요!

오늘 올려드린 문항들과 그동안 올린 기출문제는 따로 모아서 풀 수 있도록 웹사이트를 조만간 만들 예정이니 이것도 많은 관심 부탁드립니다!
이름은 "sion-archive"로 생각중입니다.

다음에 다시 찾아오겠습니다. 좋은 기분으로 일주일의 첫번째인 월요일을 시작하시길 바라겠습니다! 감사합니다:)