메가스터디

안녕하세요! 22기 멘토 이하진입니다:)

이번에 7월 더프 시험이 있었더라고요. 다들 시험 잘 보셨나요?

뭐라고요? 러셀에서 강제로 더프 대신 전대실모 응시하게 해서 못 봤다고요? 남들 다 보는 더프 못 봐서 짜증난다고요? 

사실 저도 왜 굳이 시험 날짜를 겹치게 했는지는 잘 모르겠습니다. 학원의 사정이 있겠지만, 개인적으로는 두 시험 다 볼 수 있게 했으면 좋지 않았을까 싶네요...

어쨌든 오늘은 러셀에서 시험 치고 오느라 지친 여러분을 위해 전대실모 수학 풀이를 가져왔습니다. 제 최초 풀이는 어땠는지, 배워갈 점은 뭐가 있는지 주요 문항과 함께 살펴보는 시간을 갖겠습니다. 그럼 시작!

#0. 컨텐츠의 퀄리티?

이런 게 안 궁금한 분들은 바로 풀이로 넘어가시면 됩니다!

일단 시작하기에 앞서 수학 문제의 퀄리티라는 것에 대해 잠깐 얘기를 해봐야 할 것 같습니다. 컨텐츠의 퀄리티에 불만이 좀 있는 학생 분들이 많은 걸로 알고 있습니다. 그런데 그렇게 말씀하는 분들, 퀄리티를 평가할 입장이 되나요? 그 전에 퀄리티라는 게 뭔가요?

문제의 퀄리티라는 건 '학습에 도움이 되는 정도'를 의미할 것입니다. 학습이라는 건 '실력을 올리기 위한 훈련'이고요. 말하자면 문제의 퀄리티는 이 문제를 푸는 게 실력을 올리는 데 도움을 주는 정도라고 할 수 있겠네요. 

모의고사의 퀄리티는 조금 다릅니다. 실전 모의고사(이하 실모)의 퀄리티는 문항의 퀄리티에 더해 '리허설'의 측면도 고려해야 합니다. 이 때문에 해법은 잘 보이지만 실수할 수 있거나 시간을 잡아먹는 문항도 존재합니다. 빠르게 풀고 넘어가는 2,3점 문항이나, 계산량이 많은 일부 4점 중반 문항이 이에 해당합니다. 

학생 분들은 잘 모르시겠지만, 컨텐츠 제작/검수팀이나 학원 강사, 조교님들은 여러분이 생각하는 것보다 수학을 훨씬 잘하십니다. 푸는 입장에서 아무도 생각 안 하고 지나가는 부분까지 누군가는 세심하게 확인하고 있습니다. 신성규 선생님 수강생 분들은 들어서 아시겠지만, 대체 이 오류를 어떻게 찾았나 싶은 경우도 있습니다. 

말하고 싶은 건 이렇습니다. 문항의 퀄리티라는 건 일반적인 학생의 시선에서 판단할 수 있는 게 아닙니다. 기본적으로 100점 이상의 실력은 되어야 학습에 도움이 되고 말고를 파악할 수 있을 뿐더러 그런 실력의 학생이라 하더라도 문제의 조건과 발문들이 왜 그렇게 주어졌는지는 출제/검수를 해본 경험이 없다면 이해하기 어렵습니다.

물론 온라인 상에는 점수에 관계없이 문항의 퀄리티를 논하는 분들이 많습니다. 대체로 이런 양상을 띱니다. 

1) 유명한 컨텐츠는 좋게 평가한다

2) 자신이 못 본 모의고사는 나쁘게 평가한다

3) 쉬우면 쉽다고 어려우면 어렵다고 욕한다

사실 좀 웃긴 게, 같은 출제자가 만든 걸 모르고 브랜드가 다르다는 이유로 하나는 내려치기하고 하나는 올려치기하는 경우도 있습니다. 하고 싶은 말이 많지만 참도록 하겠습니다...

#1. 총평 

이렇게 빌드업을 한 건 이번 전대실모 수학 퀄리티가 괜찮다는 주장을 하기 위해서입니다. 좀 쉬운 게 흠이지만, 어렵게 내면 욕을 바가지로 먹을 걸 생각하고 난도를 낮춘 듯합니다. 일단 주요 문항 가볍게 평가해 보겠습니다. 확통이랑 기하는 없습니다.

12번: 쉽습니다. (나) 조건에 의해 a6>0이고, 그러면 (가) 조건에 의해 a4<0이므로 (나) 조건의 절댓값을 제거할 수 있습니다. 계산만 해주면 끝이네요.

13번: 어렵진 않지만 배울 점이 있는 문항이라 생각합니다. ㄱㄴㄷ 문제는 <보기>의 유기성을 느껴야 하죠. ㄴ은 단순 계산처럼 보이지만, 결국 ㄷ을 풀기 위한 단서가 됩니다. 0~2까지 움직인 거리는 t=2에서의 위치보다 크거나 같을 수밖에 없는데, 마침 ㄴ에서 밝혔듯이 t=2에서의 위치가 f(1)이고 이 값이 2/3네요. 

14번: 쉬운 삼각함수 그래프 문제입니다. sin(x/2)가 있어 당황할 수 있지만, 논리 자체는 사설에서 많이 본 느낌이죠. 뭐라 할 거 없이 깔끔합니다. 

15번: 얘는 좀 아쉽습니다. 퀄리티가 안 좋다는 건 아니지만 15번에 있을 급은 아니죠. 물론 요즘 평가원 15번이 쉽기도 하고, 이 문제가 15번 말고 어디 들어가야 할까 생각하면 안 떠오르긴 합니다. 21번이랑 자리가 바뀌었어도 괜찮지 않을까 싶네요. 

20번: 주요 문항이라 하기도 부끄럽습니다. 너에게 눈이 달려있니 하고 물어보는 수준입니다. 

21번: 쉽지만 깔끔합니다. 당연히 접하는 지점을 위주로 살펴야 합니다. 다항함수를 잘 다루는 분들이라면 계산 없이 답을 낼 수 있었을 겁니다. 

22번: 개인적으로 상당한 문제라고 생각합니다. 실력에 따라 소요 시간에서 큰 차이가 있었을 것 같습니다. 수열의 구조를 제대로 파악하면 두 줄 컷 낼 수 있습니다. 이 문제를 메인으로 다뤄보겠습니다. 

28번: 단순 매개변수 계산 문항입니다. 특별한 건 없네요. 실수만 안 하시면 됩니다.

29번: 꽤 괜찮은 급수 문제입니다. 어렵진 않지만 절 수 있는 포인트가 있습니다. 

30번: 작년부터 자주 나오고 있는 항등식 문항입니다. 사실 꽤 봐준 문제라고 할 수 있겠네요. csm17에서 무료 배포한 6모 대비 신성규XCSM17 유니온 모의고사를 풀어보신 분들이 있다면, 30번이 꽤 비슷하다고 생각하셨을 겁니다. 

#2. 주요 문항 풀이 

 이제 15, 21, 22, 29, 30번의 풀이를 보여드리도록 하겠습니다. 우선 제 최초 풀이를 보여드리고, 어떻게 그런 사고 과정이 나왔는지, 추가로 생각해볼 포인트는 무엇인지 순으로 진행하겠습니다.

문제 사진을 첨부하면 잡혀갈 수 있기에 풀이만 보여드릴 테니 갖고 계신 시험지를 참고해 주시면 감사하겠습니다! 

<15번>

최초 풀이)

이거 가지고 최초 풀이라 하면 좀 욕을 먹겠지만, 최초 풀이입니다. 아래 과정을 머릿속으로 거치고 나온 결과라고 생각하시면 됩니다. 특별한 테크닉 없이 함수의 극한에 대한 기본 성질을 이용한 것입니다.

풀이)

<21번>

최초 풀이)

다항함수를 잘 다룬다면 이 그래프만으로 충분합니다. 사실 여러분들이 이렇게 풀 수 있는 사람이 되면 좋겠습니다. 역시 자세한 풀이는 다음에 첨부하겠습니다.

풀이)

수학2에서 정적분으로 정의된 함수는 원시함수를 그려서 해석하는 것이 기본입니다. 넓이로 보는 건 어렵기 때문입니다. F(x)를 그리면 F(x)=F(k)-3의 실근의 개수를 관찰하는 건 일도 아니죠. 당연히 접하는 지점을 위주로 봐야 합니다.

다항함수의 성질을 많이 배우셨을 겁니다. 삼차함수의 비율관계, 이차함수의 넓이 공식, 대칭성 같은 것 말이죠. 모든 강의에서 그런 걸 다루는 건 이런 문제에 써먹으라고 그런 겁니다. 머리로는 아래 사진처럼 생각하고, 실제로는 위의 사진처럼 풀 수 있도록 연습하시면 좋을 것 같습니다. 

<22번>

최초 풀이)

여러분은 이 문제를 어떻게 푸셨나요? 다양한 풀이가 있을 수 있겠지만, 약간의 관찰력이 있다면 케이스 분류 없이 한 번에 풀 수 있습니다. 

풀이)

점화식 문제는 수열의 구조 파악이 우선입니다. 이전 항이 0 이하일 때 다음 항은 양수, 특히 3 이상의 양수가 됩니다. 이전 항이 0보다 크면 3만큼 감소합니다. 그렇다면 이 수열은 양수 구간에서 감소하다가 0 이하가 되면 3 이상의 양수가 되고, 다시 감소하다가 또 0 이하가 되면 3 이상의 양수가 되는 과정을 반복하는 수열입니다.

a6=-1까지 찾았다고 가정하겠습니다. a_n이 0이 되면 -1이 되는 상황이 발생할 수 없다는 걸 인지하고, sol1)의 논리를 펼쳤습니다. 양수 구간에서 감소하다가 음수가 되면(0이 될 수 없다는 걸 보였으므로) 바로 3보다 큰 양수가 됩니다. 즉, (-) 앞에는 반드시 (+)가 옵니다. 또, 이렇게 된 (+)는 3보다 크므로 3을 두 번 이상 뺄 수 있습니다. 즉, (-) 뒤에는 (+)가 두 개 이상 옵니다. 또한 (나)에 의해 a1<0입니다. 그러면 부호를 확정할 수 있겠군요.

첫 항이 (-)이니 (+)가 두 개 이어져야 합니다. 즉, 둘째 항과 셋째 항은 (+)입니다. 또 a6<0이니 그 앞에는 (+)가 옵니다. 즉, a5>0입니다. a4의 부호만 모르는데, 만약 a4<0이라면 이어지는 두 항이 모두 (+)여야 하니 a6<0에 위배됩니다. (-) (+) (+) (+) (+) (-) (+) (+) (-) ... 구조가 확정됐습니다. 

우리는 (나) 조건을 완벽하게 이용하지 않았습니다. 이 문제가 쉽다고 했던 이유이기도 합니다. 실전에선 이게 답인 게 확실하니 넘어가면 되지만, 실제로 (나)가 성립하는지 확인할 필요는 있습니다. 굳이 개수를 세서 푸는 풀이가 sol2)입니다. sol1)이 최고의 풀이라 생각하지만, sol2도 한 번 해보면 도움이 될 듯합니다.

<29번>

최초 풀이)

급수에서 해야 할 행동만 하면 풀립니다. 수렴 조건 확인하고, 수렴 값 확인하고, 각 항의 값 적절히 이용하고 약간만 계산해 주면 됩니다. 

풀이)

Sn+5/4=(5/4)^(n-1)로 바로 쓰는 것 정도만 알아 두시면 좋을 것 같습니다. 직관적으로 당연한 거긴 합니다. Sn이 -5/4로 수렴한다는 걸 알고 있으니 Sn+5/4가 0으로 수렴할 건데, 이 식 자체는 등비수열로 표현될 것이기 때문이죠. 

<30번>

합성함수 항등식 문제 숙련도가 있으신 분들이라면 a=-4, k=-4가 바로 나올 겁니다. 함수 개형이 바로 보이거든요.  

뉴런이나 여러 인강, 현강에서 합성함수의 극점을 다루는 방법을 배우셨을 겁니다. 그 논리를 쓴 겁니다. 치역이 -∞부터 2ln2 직전까지 채워지려면 쭉 감소/증가하거나, 감소하다가 증가하다나 감소/증가하다가 감소하다나 증가하거나, 어쨌든 짝수 개의 극점이 존재할 것입니다. 그리고 합성함수의 극점은 겉함수의 극점과 속함수의 극점에서 발생하죠. 근데 만약 f(x)의 극점이 2개 이상이라면 합성된 함수의 극점도 두 개 이상이어야 합니다. 그렇지만 우변의 함수는 극점이 하나뿐입니다. 말도 안 되죠. f(x)는 극점이 없을 수밖에 없습니다. 이제 양/음의 무한대로의 극한과 극점을 조사해주면 끝납니다.

항등식 문제는 해법이 다양합니다. 이런 풀이도 가능하지만, 부분역함수를 취하는 풀이도 아주 좋습니다. 중요한 건 모든 문제에 일관되게 적용하는 연습을 하는 겁니다. 가령 미분가능성/이계도함수 조건이 등장하면 차수논리를 알고 있는 게 강력한 무기가 되죠. 

추가로, 수학을 잘하시는 분들이라면 30번에 대해 의문이 들 수 있습니다. 함수 추론 과정에서 미분가능성이 전혀 쓰이지 않습니다. 연속 조건만 있어도 함수가 결정되죠. 그 말은 연속이라고만 줘도 f(x)가 확정되고, 그 함수는 반드시 미분가능하다는 걸 입증할 수 있단 겁니다. 물론 적분 과정에서 f'(x)가 필요하기에 미분가능하다고 주는 게 적절하긴 합니다. 

#3. 마무리 

벌써 시간이 1시가 넘었네요. 이런 걸 써서 올려도 저한테 득이 되진 않지만, 더프 보고 싶은데 어쩔 수 없이 전대실모를 보셨을 분들을 위해 시간을 내서 써봤습니다. 이번 글이 조금이나마 여러분에게 도움이 되었길 바랍니다. 

오랜만에 왔으니 근황 토크라도 하겠습니다. 항상 그랬듯 여러 음식점을 다니고 있습니다. 제 수입의 상당 부분이 밥값으로 나가네요. 사진은 원스타를 받은 멕시칸 다이닝 에스콘디도입니다. 흑백요리사2에서 뉴욕에 간 돼지곰탕으로 출연하신 옥동식 셰프님 매장도 갔는데, 사진 용량 이슈로 업로드가 안 되네요...

.

.

.

.

이제 글을 마칠 시간입니다. 목표를 위해 하루하루 최선을 다해 살아가는 여러분을 항상 응원합니다. 지금은 힘들겠지만 결국 여러분의 노력이 빛을 발할 것을 믿습니다. 제가 가장 좋아하는 노래인 아이유님의 '아이와 나의 바다'와 함께 마무리하도록 하겠습니다. 

<아이와 나의 바다> 

그럼에도 여전히 가끔은

삶에게 지는 날들도 있겠지

또다시 헤매일지라도 돌아오는 길을 알아