안녕하세요.

성균관대학교 의예과 25학번, 메가스터디 목표달성 장학생 21기 류성준입니다.

오늘도 돌아온 수학 칼럼입니다.

이번 주제는 바로 “도형”입니다.

과외나 수학 조교 활동을 하다 보면 도형을 어려워하는 학생들을 자주 만납니다.

특히 수능 수학에서는 ‘도형’이 비교적 독립적인 단원으로 구성되어 있기 때문에 

이 부분이 약점인 경우가 많습니다.

이번 칼럼에서는 최신 기출 문제를 중심으로 

기본적인 교과서적 개념을 통해 도형 문제에 접근하는 방법을 설명드리겠습니다.

이번 칼럼도 난이도가 높지는 않습니다.

먼저 첨부된 문제를 풀어보고 칼럼을 읽어보기를 추천드립니다!

도형 실력이 이미 충분한 학생들은 

제 사고 과정을 따라가며 문제를 논리적으로 접근했는지 점검하는 용도로 읽어보길 바랍니다.

또한 도형 문제는 다양한 풀이가 존재합니다.

제가 제시한 풀이보다 훨씬 간단하고 세련된 방법들도 있다는 것을 저도 잘 알고 있습니다.

하지만 이번 칼럼에서는 가장 기본적이고 교과서적인 방식으로 접근해 보았습니다.

이러한 풀이들을 먼저 충분히 숙지한 뒤에야

더 빠르고 효율적인 풀이법도 제대로 익힐 수 있습니다.

기초를 탄탄히 다지는 것이 결국 실력 향상의 지름길이라는 점

꼭 기억해 주세요!

우선 문제들을 풀어보기 전에

도형 문제 풀이에 쓰이는 교과서적 개념과

도형 문제를 풀 때의 태도를 간단히 정리하고 시작하겠습니다.

문제 읽기

도형 문제 풀이의 첫걸음은 너무도 당연하지만, 가장 중요한 문제 조건을 정확히 읽는 것입니다.

당연한 말이지만 정말로 핵심적인 이야기입니다.

조건을 빠뜨리거나 잘못 해석하면, 아무리 논리적으로 접근하더라도 결국 정답에 도달할 수 없습니다.

특히 도형 문제에서는 작은 조건 하나가 전체 풀이의 방향을 좌우하곤 합니다.

그러니 문제를 읽을 때는 한 줄 한 줄 꼼꼼하게, 정확히 이해하는 습관을 꼭 들이세요.

직각삼각형과 삼각비

직각삼각형이 주어졌을 때, 한 각의 삼각함수(sin, cos, tan) 값을 구할 수 있습니다.

반대로, 삼각비,삼각함수 값이 주어지면 직각삼각형을 그려서 다른 삼각함수 값을 구할 수 있습니다.

주의 

각의 범위를 반드시 따져야 합니다. 

문제에서 주어진 각이 예각인지, 둔각인지에 따라 삼각함수 값이 달라질 수 있습니다.

사인법칙

사인법칙은 외접원의 반지름을 구할 때 사용됩니다.

한 각과 마주보는 변의 길이를 알아야 사인법칙을 적용할 수 있으며

하나의 삼각형 내에서는 모든 각에 대해 동일한 외접원의 반지름 값을 갖습니다.

코사인법칙

코사인법칙은 다음 두 상황에서 사용됩니다.

• 삼각형의 세 변의 길이가 모두 주어졌을 때, 한 각의 크기를 구할 수 있습니다.

• 두 변의 길이와 한 각의 크기가 주어졌을 때, 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있습니다.

삼각형의 넓이

삼각형의 넓이는 밑변높이로 구할 수 있습니다.

또한 삼각형의 넓이는 두 변(a, b)과 끼인각(θ)이 주어졌을 때, 1/2absinθ로 구할 수 있습니다.

추가적으로 알아두면 좋은 기본적인 도형 관련 태도 및 내용

이등변삼각형 → 직각삼각형으로 쪼개기

이등변삼각형이 등장하면, 

꼭짓점에서 밑변에 수선을 내려 두 개의 합동 직각삼각형으로 나누어 관찰합니다.

이때 생기는 길이의 동일함, 각의 일치 등을 활용해 문제를 간단하게 풀 수 있습니다.

기본 성질: 두 변의 길이, 두 각의 크기가 서로 같습니다.

보각(θ와 180° – θ) 관계에서의 삼각함수 값

도형 문제에서는 ∠θ와 (180° – ∠θ)처럼, 한 직선 위에 있는 두 각의 관계가 자주 등장합니다. 

이때 삼각함수 값은 다음과 같은 성질을 가집니다.

• sin(180° – θ) = sin θ

• cos(180° – θ) = –cos θ

• tan(180° – θ) = –tan θ

즉, 사인 값은 같고, 코사인과 탄젠트는 부호가 반대입니다.

이 관계는 특히 위와 같은 상황의 삼각형을 관찰할 때 떠올리면 좋습니다.

*원

도형 문제에서는 원의 성질을 이용한 문항도 자주 출제됩니다.

다만, 원과 관련된 개념과 문제는 내용이 방대하여 이번 칼럼에서 모두 다루기에는 어려움이 있습니다.

따라서 이번 칼럼에서는 문제풀이에 쓰이는 원의 성질만 문제를 풀며 설명하고,

다음 칼럼에서 ‘원의 성질’을 주제로, 관련 기출 문제들을 함께 풀어보며 자세히 설명드리겠습니다.

+ 도형 문제 공부법

문제를 푼 뒤에는 그 문제에 사용된 주요 개념과 핵심 아이디어를 정리해보는 것이 좋습니다.

기출분석을 하듯이, 단순히 정답만 확인하는 것이 아니라 문제에서 어떤 조건이 주어졌고 

그 조건들이 어떤 방식으로 활용되었는지를 되짚어보는 겁니다.

특히 도형 문제에서는 조건뿐만 아니라 문제에서 제시된 도형의 상황을 정리하는 것이 중요합니다.

이러한 과정을 반복하다 보면 여러 문제에서 비슷한 조건이나 도형 구조가 반복된다는 걸 자연스럽게 느낄 수 있을 것입니다.

그 경험 자체가 학습이 되며, 익숙해진 패턴이나 조건은 나중에는 굳이 일일이 분석하지 않아도 바로 감을 잡을 수 있게 됩니다.

 220612

우선 문제에서 주어진 것은 AB, AC, ∠A의 cos 값입니다.

또한 그림을 보면, △ABD는 이등변삼각형이기에, BD의 길이를 적어주고 수선의 발을 내려 두 직각삼각형으로 쪼개줍니다.

두 변과 끼인각이 주어졌으니, 남은 한 변인 BC의 길이를 구하기 위해 코사인법칙을 씁니다.

또한 ∠A의 cos값이 주어졌으므로 AH의 길이를 알 수 있고, AD의 길이를 구할 수 있습니다.

남은 변의 길이인 DC의 길이가 4가 되고, 삼각형 DBC도 이등변삼각형이 되기에, 수선의 발을 내려 두 직각삼각형으로 쪼개줍니다.

이어서는 피타고라스 정리를 이용하여 DH’의 길이를 구할 수 있고, 각 E의 cos값도 알고 있으므로 DE의 길이를 구할 수 있습니다.

문제를 풀고 나서는 이렇게 정리할 수 있을 것입니다.

• 두 변과 끼인각 등장 → 코사인법칙

• 이등변삼각형 → 수선의 발 내리기

220912

우선 문제에서 주어진 것은 외접원의 반지름, ∠A, ∠BCD의 sin값입니다.

먼저 외접원의 반지름이 주어졌고, ∠A의 크기를 알고 있으므로, 사인법칙을 이용하여 BC를 구합니다.

또한 ∠BCD의 크기 또한 알고 있으므로, 사인법칙을 이용해 BD의 길이를 구합니다.

구해야 하는 것이 CD이므로, △CDB를 관찰해보면

∠BCD와 BC, BD를 알고 있으므로 코사인법칙을 이용하여 CD를 구할 수 있습니다.

x = 2인 이유

BC의 길이가 2√21이고 BD의 길이가 8, ∠BCD의 사인값이 2√7/7인 △BCD는 두 개 존재합니다.

1번 상황이 문제상황, 그리고 2번 상황이 나머지 삼각형이겠네요.

이는 그림을 보고 판단하여도 되고, 12번 문제에서는 ∠D가 둔각이기에, 변 BC가 가장 긴 변이어야 한다는 논리로도 x = 2임이 드러납니다.

문제를 풀고 나서는 이렇게 정리할 수 있을 것입니다.

• 외접원의 반지름 → 사인법칙

• 옆변을 미지수로 두고 코사인법칙을 이용할 수 있다!

 230610

우선 문제에서 주어진 것은 AB, BC, AC > 3, ∠A의 cos값, M은 AC의 중점입니다.

∠A의 cos값과 AB, BC를 알고 있으니 코사인법칙을 이용하여 AC를 구합니다. (AC > 3)

삼각형 MCB가 이등변삼각형인 것을 발견할 수 있습니다.

구하는 MD를 포함하는 삼각형을 관찰합니다. 

A와 D를 이어 이등변삼각형 ADM을 만들어줍니다.

또한 ∠A의 코사인값과 AM, AB의 길이를 알고 있으니 코사인법칙을 이용하여 MB를 구할 수 있고

△MCB와 △ADM은 닮음 관계이기에 닮음비를 이용하여 MD의 길이를 구할 수 있습니다.

A와 D를 잇는 이유

원 위의 점이 등장하면, 두 점을 이은 선분을 만드는 것이 기본 태도입니다.

즉, 이 문제에서는 선분 AD와 선분 CD를 긋고 문제를 푸는 것이 좋습니다.

다만 삼각형 MCB가 이등변삼각형이기에, 닮음을 이용하기 위해서, MD를 포함하는 삼각형 중에서

△ADM을 이용하는 것이 유리하기에, AD를 긋고 문제풀이를 진행하였습니다.

△MCB와 △ADM이 닮음인 이유

우선 M이 맞꼭지각이고, ∠C와 ∠D는 동일한 호 AB에 대한 원주각이기에, 닮음이 됩니다.

문제를 풀고 나서는 이렇게 정리할 수 있을 것입니다.

• 원 위의 점 연결

• 닮음인 상황

230913

우선 문제에서 주어진 것은 CE, ED, ∠CEA입니다.

보각-맞꼭지각을 표시해 주고, CE와 ED, ∠CED가 주어졌으므로, 코사인법칙을 이용하여 CD를 구합니다.

이제 AC의 길이를 구해야 하는데요.

가장 먼저 보이는 것은 △ACE에서 AE만 구하면 코사인법칙으로 AC를 구할 수 있을 것 같습니다. 다만 AE는 아무런 성질이 보이지 않는 변이기에 구하는 것이 쉽지 않아 보입니다.

다음으로는, AC를 포함하는 △ACD의 외접원의 반지름과 사인법칙을 이용해서 AC를 구할 수 있어 보입니다.

∠D는 △CDE에서 코사인법칙을 통해 구할 수 있을 것이고, 결국엔 외접원의 반지름만 구하게 된다면 AC를 구할 수 있을 것입니다.

점 O와 점 D를 이어 반지름을 만들고, 이 반지름을 포함한 △OED에서 미지수를 세워 코사인법칙을 이용할 수 있어 보입니다.

이후 코사인법칙을 쓰면 반지름이 결정되고, 사인법칙을 이용하여 AC를 구할 수 있습니다.

문제를 풀고 나서는 이렇게 정리할 수 있을 것입니다.

• 모르는 길이는 미지수로 설정 (반지름) (어려움!!!)

• 보각 관계 이용

• 세 변의 길이 비 -> 코사인법칙을 이용하여 한 각의 cos값을 알 수 있다.

231111 

우선 문제에서 주어진 것은 AB, AC, AD, ∠BAC = ∠CAD입니다.

원의 성질에 의해 BC와 CD는 같습니다.

따라서 두 변(AB와 AC, AC와 AD)과 끼인 각이 주어졌기에, 코사인법칙으로 식 두 개를 세울 수 있습니다.

이어 가감법을 통해 x의 값과 cosθ 값을 구할 수 있습니다.

코사인법칙을 2번 이용하여 두 식을 연립하는 과정은 자주 나오는 상황입니다!

'풀린다'라는 것을 아는 것이 중요하기에, 이 풀이가 어색하다면 이번 기회에 꼭 익숙해지세요!!

이어 △ABC에서 각(θ)의 sin값과 BC를 알고 있으므로, 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름을 구할 수 있습니다.

BC = CD인 이유

원의 성질입니다. 

∠BAC와 ∠CAD가 같기에, 이에 대응되는 현 BC와 현 CD의 길이는 같습니다.

문제를 풀고 나서는 이렇게 정리할 수 있을 것입니다.

• 원주각 동일 -> 현의 길이 동일

• 코사인법칙 2번, 연립/소거

240613

우선 문제에서 주어진 것은 BC, CD, ∠C의 cos값, 내분점 E, P1P2 : Q1Q2 비율, △ABD의 넓이입니다.

우선 BC와 CD, ∠C의 cos값을 알기에, 코사인법칙을 이용하여 BD를 구할 수 있습니다.

또한 AE : EC = 1 : 2이고, 이는 외접원의 반지름 비로 볼 수 있습니다.

즉 △Q₁Q₂C에서 사인법칙, △P₁P₂E에서 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 비를 식으로 작성해 볼 수 있고

P₁P₂ : Q₁Q₂, ∠C의 sin값을 알기에 ∠A의 sin값을 알 수 있습니다.

이어서 구하는 값을 보면 AB + AD이고, 이는 △ABD의 두 변으로 볼 수 있습니다.

구하는 값을 미지수로 두고, 넓이 조건을 이용하면 두 변의 곱이 나오고,

두 변과 끼인 각이 등장했기에 코사인법칙을 이용하면 두 변의 제곱의 합이 나옵니다.

두 식을 연립하여 계산하면 두 변의 합이 나옵니다.

∠DAB가 둔각이라는 조건

cos값은 예각일 때 양수, 둔각일 때 음수입니다.

즉, 특정 각이 예각 또는 둔각이라는 조건을 문제에서 제시해준다면

코사인 법칙이 쓰일 수 있다고 미리 생각해 볼 수 있고, 부호에 주의해야합니다.

문제를 풀고 나서는 이렇게 정리할 수 있을 것입니다.

• 외접원 반지름 비 -> 사인법칙

• 역추적 (다음 도형 심화 칼럼에서 자세히 다룹니다!)

역추적이란 문제에서 구하는 값으로부터 거꾸로 필요한 값들을 찾아가는 것입니다.

도형 문제에서 구하는 값의 의미는 매우 중요합니다. 특히 합, 곱 형태로 물어본다면, 이를 각각 구할 것인지, 아니면 한 번에 구하는 꼴을 찾을 것인지, 어느 것이 유리한지 살펴봐야 합니다.

이번 문제에 쓰인 식 2개를 꺼내는 아이디어는 자주 등장하니, 이 문제를 정리하며 완벽하게 익히기 바랍니다!

241113 

우선 문제에서 주어진 것은 AB, BC, AD*CD, ∠BAC, △ABC와 △ACD의 넓이비입니다.

먼저 AB, BC와 ∠BAC가 주어졌기에, 코사인법칙으로 AC를 구할 수 있습니다.

이어서 넓이 조건을 사용하자면

△ABC의 넓이는 1/2 * AB * AC * sin(π/3)

△ADC의 넓이는 1/2 * AD * CD * sin(∠ADC)로 구할 수 있으므로

sin(∠ADC)를 구할 수 있습니다.

외접원의 반지름 R을 구해야 하기 때문에 △ADC에서 AC와 ∠ADC를 이용하여 사인법칙을 이용할 수 있습니다.

문제를 풀고 나서는 이렇게 정리할 수 있을 것입니다.

• 두 변의 곱 -> 삼각형 넓이와 관련!!

250610 

우선 문제에서 주어진 것은 △ABC의 외접원의 넓이입니다.

즉 외접원의 반지름이 주어졌습니다.

(가)에서는 sin값의 비를 제시하였고,

(나)에서는 두 cos값이 같다고 제시하였습니다.

우선 문제에서 삼각형을 그려주지 않았기에, 일반적인 삼각형을 그려야 합니다.

(나)에서 두 cos값이 같다고 했으니, △ABC는 AB = AC인 이등변 삼각형입니다.

또한 (가)에서 sin값의 비가 주어졌으므로 이를 마주 보는 변의 비로 해석하여 세 변의 비를 알 수 있습니다.

이등변삼각형 ABC에서 수선의 발을 내려 ∠B의 크기를 알 수 있고, ∠B와 AC를 이용하여 사인법칙을 이용하여 k를 구할 수 있습니다. 1/2 * AB * BC * sin(∠B)를 통해 넓이를 구할 수 있습니다.

사인비 -> 대변의 길이 비인 이유

사인법칙의 응용입니다. 

한 삼각형 내에서는 세 각에 대해 사인법칙을 이용해도 같은 값이 나옵니다.

즉 세 식이 같은 값을 가지기에, 분모의 비율인 사인비가 곧 분자의 비율인 대변의 길이 비가 됩니다.

코사인 값이 같다면, 각의 크기가 같은 이유

삼각형의 한 각은 0도보다 크고, 180도보다 작습니다. 

이 구간 내의 각에 대해 cos 함수는 일대일 대응이기에, 코사인 값이 같으면 각도 같습니다.

외접원의 넓이 조건 -> 외접원의 반지름 조건으로 해석하면 됩니다.

250910

우선 문제에서 주어진 것은 AB : AC의 비율, AH, 외접원의 넓이입니다.

우선 문제의 조건을 만족하는 삼각형을 그려줍니다.

외접원의 넓이는 곧 외접원의 반지름 조건으로 해석할 수 있기에, 사인법칙을 이용합니다.

△ABH에서 ∠B의 sin값이 등장하므로, AC와 ∠B의 sin값을 통해 사인법칙을 이용합니다. 이후에는 피타고라스 정리를 이용하여 BH를 구합니다.

문제를 풀고 나서는 이렇게 정리할 수 있을 것입니다.

• 직각삼각형 -> 삼각비(삼각함수) 구할 수 있다

251114

우선 문제에서 주어진 것은 AD : DB 비율, sin A : sin C 비율, △ADE 넓이 : △ABC 넓이 비율, 외접원의 반지름입니다.

우선 위의 문제에서 쓰였던, 사인비 = 대변의 길이 비를 이용하여 BC를 구합니다.

이후 넓이 조건은 두 삼각형 모두 ∠A가 공통이기에, 두 변의 길이 곱의 비로 해석할 수 있고,

EC를 구할 수 있습니다.

이 문제에서 추가로 알아야 하는 건 △PBC의 넓이가 최대가 되는 P의 위치를 기하적으로 해석할 줄 알아야 하는데요, 우선P는 동점이고, 점 B, 점 C는 고정되어 있습니다.

즉 △PBC의 넓이는 밑변을 BC로 하는 삼각형의 넓이를 구하는 것으로 해석할 수 있고,

삼각형의 높이가 최대가 되는 원 위의 점 P의 위치를 찾아야 합니다.

이 점은 선분 BC와 평행선이 원 위에서 접하는 접점일 것이고, PH는 원의 중점 A를 지날 것입니다.

넓이를 구하기 위해 구해야 할 값들은 k, AH입니다.

세 변의 길이 비가 주어졌으므로, 한 각의 cos값을 구할 수 있고, 이어 sin값도 구할 수 있습니다.

즉 ∠B를 미지수로 둔다면, AC를 이용하여 사인법칙을 이용하여 k값을 구할 수 있을 것이고,

직각삼각형 ABH에서 sin값을 이용하여 AH의 길이도 구할 수 있을 것입니다.

문제를 풀고 나서는 이렇게 정리할 수 있을 것입니다.

• 사인비 -> 대변의 길이 비

• 넓이가 최대인 상황 (기하적 해석)

오늘은 최근 평가원 도형 문제들을 한꺼번에 풀어보았는데요, 어떠셨나요? 

이렇게 한 번에 묶어서 살펴보니 

평가원 도형 문제들이 생각보다 어렵지 않게 출제된다는 걸 느끼셨을 거예요. 

처음에 말씀드린 기본 원칙들만 잘 지키면서 문제에 접근해도 충분히 해결할 수 있는 문제들입니다.

이렇게 도형 문제를 한 번에 묶어서 풀어보면, 실력이 금방 느는 것을 느낄 수 있을 거예요.

물론 도형 문제를 어떻게 체계적으로 접근해야 할지에 대해서는 아직 할 이야기가 많습니다. 

특히 역추적과 관련해서는 꼭 짚고 넘어가야 할 부분이 많은데요

익숙해지면 도형 문제 풀이가 훨씬 수월해집니다.

이번 칼럼에서는 풀이 과정에 담긴 저의 사고 방식을 기본적으로 익히고

다음 칼럼에서는 낯선 도형 문제를 만났을 때 어떻게 접근해야 하는지를 본격적으로 다뤄보겠습니다.