안녕하세요.

성균관대학교 의예과 25학번, 메가스터디 목표달성 장학생 21기 류성준입니다.

칼럼 안 쓰고 쉬어보려고 했는데요

수학 공부에 도움이 될 만한 칼럼이 하나 더 생각나서 이렇게 또 적어봅니다...

바로 이번 6월 모의고사 수학영역 22번 문제 풀이인데요.

제가 올렸던 풀이에 대해 ‘왜 그렇게 푸셨는지 잘 모르겠다’는 학생분들이 꽤 많더라고요.

그래서 오늘은 저와 과거 기출문제들을 풀어보면서,

왜 제가 올린 해설과 같은 풀이로 진행했는지를

- 기출분석 하는 법

- 그리고 기출분석의 중요성과 함께 담아보려고 합니다.

시간이 된다면 제가 첨부해놓은 세 문제를 먼저 풀어보고 이 칼럼을 접하시면 훨씬 더 좋을 것 같습니다.

글로 읽어도 괜찮아요.

다만, 이번 6평 22번은 꼭 다시 한번 풀어보고 읽어주세요~

문제 > 글해설 > 손풀이 순서로 업로드했습니다. 

c. 풀이와 분석은 다르다 — 풀이 후엔 반드시 분석의 시간을 갖자.

이 항목이야말로 오늘 이야기의 핵심입니다.

밑에 있는 문제들을 풀어보시면서, 어떻게 적용할 수 있는지 함께 나눠보겠습니다!

170327(가)입니다.

직관적으로도 쉽게 풀 수 있고, 문제 구조가 복잡하지 않아 금방 푸실 수 있는 문제입니다.

하지만 이렇게 쉬운 문제에서도 배울 수 있는 교훈이 있습니다.

저는 주로 박스를 쳐서 풀이 과정을 정리하거나

문제 풀이에 중요하게 쓰인 개념들을 저만의 언어로 정리하는 습관이 있습니다.

이 과정을 직접 생각하고 적어보는 것이, 바로 ‘기출분석’이라고 생각합니다.

이 문제를 풀 때, 구해야 하는 것은 A의 좌표입니다.

단순하게 접근하면, 직선과 f(x)의 교점이 점 A이므로 두 함수를 연립하려고 하겠죠.

하지만 여기서 직선은 다항함수이고, f(x)는 지수함수입니다.

교육과정에서는 다항함수와 지수함수를 연립해서 푸는 방법을 다루지 않기 때문에

이걸 대수적으로 풀려고 하는 건 잘못된 접근입니다.

(물론 간혹 정수 점 등을 대입해서 쉽게 풀리는 경우도 있긴 하지만

항상 대수적으로 접근하려는 태도는 좋지 않습니다.)

그렇다면 ‘연립을 안하고 A의 좌표를 어떻게 구할 수 있을까?’라는 질문이

곧 문제 풀이의 방향이 되어줍니다.

여기서 중요한 힌트는 ‘기울기가 1인 직선’이라는 조건입니다.

x좌표의 증가량과 y좌표의 증가량이 같다는 뜻이죠.

f(x)의 생성 원리를 살펴보면, 함수 2^-x  을 오른쪽으로 1/4만큼, 위쪽으로 1/4만큼 평행이동했습니다.

즉, 기울기 1인 직선을 따라 평행이동했다고 볼 수 있습니다.

그래서 함수 위의 점들도 동일하게 이동했을 것이고,

결국 A점 역시 B점이 평행이동하여 A(1/4, 5/4)로 구해집니다.

이 문제를 통해 얻을 수 있는 것은

- 다항함수와 지수함수를 직접 연립하는 접근은 어렵다는 점

- 그렇다면 다른 풀이를 떠올려야 하고, 직선과 평행이동이 주어졌다면 해당 직선이 평행이동의 ‘틀’이 되는지 살펴보는 태도

이런 사고가 중요하다는 것입니다.

이런 것들을 문제 옆에 간단히 글로 적어두면,

해당 문제에 대한 ‘기출분석’이 완성된 셈입니다.

180715(가)입니다.

방금 전 문제를 풀어보셨다면,

이 문제의 접근도 조금은 더 수월할 것입니다.

문제 구조가 상당히 비슷합니다.

구해야 하는 것은 C의 좌표이며,

C점은 점 B를 지나고 기울기가 -1인 직선과, 2^x+1+1의 교점입니다.

이 문제도 접근 방식은 유사하지만,

지수함수와 로그함수가 동시에 등장하는 설정이 추가되어 있습니다.

밑이 같은 지수함수와 로그함수가 함께 등장하고

기울기 -1인 직선이 등장하면, 이건 역함수 관련 문제일 가능성이 높다는 것 을 파악하셔야 합니다.

즉, log₂x의 역함수인 2^x를 함께 그리고 문제를 관찰합니다.

그렇게 보면 아까와 마찬가지로

2^x, 2^x+1+1 두 함수와 기울기 -1인 직선 사이의 관계가 보이게 되고

C의 좌표를 y=x 대칭, 평행이동 등을 통해 구할 수 있습니다.

이전 문제처럼 핵심 개념을 정리하고

여기에 역함수와 관련된 내용을 덧붙여 정리하시면 분석은 끝납니다.

마지막 문제로 220321입니다.

이 문제는 상황 해석뿐만 아니라 계산 과정도 일부 포함되어 있습니다.

오늘은 상황 해석 중심으로 살펴보겠습니다.

문제에서는 (가)와 (나)를 만족하는 점 A가 ‘오직 하나’ 존재한다고 했습니다.

(가) - 점 A는 곡선 log₂(x+2) + k 위의 점이다.

(나) - 점 A를 y=x 대칭 이동한 점은 y=4^(x+k)+2 위에 있다.

이 문제에서 핵심은

점 A를 y=x 대칭 이동한 점을 관찰하는 데 있습니다.

(가) 조건에 따른 A는 함수 위의 임의의 점입니다.

즉, (가)만으로는 A가 결정되지 않습니다.

A를 y=x 대칭시킨 점 역시, 단순히 보면 하나의 일반적인 점처럼 보일 수 있겠죠.

하지만, 이 점은 단순한 좌표상의 점이 아니라

함수 위의 점 A를 y=x 대칭시킨 점입니다.

즉, 전체 곡선을 y=x 대칭시킨 함수 위의 점이라는 것이죠.

log₂(x+2)+k를 y=x 대칭시키면 2^x-k−2가 되고,

그 위의 점이 되어야 합니다.

그리고 (나) 조건에 따르면 이 점은 y=4^x+k+2 위에도 있어야 합니다.

또한 유일한 점이어야 하므로, 두 함수를 연립했을 때 근이 하나만 존재해야 합니다.

→ 이후 계산으로 이어지게 됩니다.

이런 사고 과정을 박스 안에 깔끔히 정리해두면 충분합니다.

중요한 건, 점 A’를 그냥 x, y 좌표가 바뀐 점이 아니라

곡선 자체를 y=x 대칭시킨 함수 위의 점으로 이해하는 것입니다.

이렇게 세 문제를 풀고, 이제 260622 문제를 다시 풀어봅니다.

풀이 과정 중 ‘발상’이라고 느낄 수 있는 부분이 있습니다.

왜 점 A를 곡선 y=2^x+1 위의 점이라고 해석해야 할까요?

앞의 세 문제를 분석하고 정리해보았다면

그 개연성이 이제는 조금씩 보이시지 않나요?

이처럼 아무리 쉬운 문제라도

기출문제를 풀고 그냥 넘어가는 것과

그 문제를 꼼꼼히 정리하고 정리하며 넘기는 것 사이에는 정말 큰 차이가 있습니다.

관련된 문제를 이전에 풀어본 경험이 있었다면

이번 22번 문제를 푸는 데도 큰 도움이 되었을 겁니다.

그래서 저는 양과 질, 둘 다 중요하다고 생각합니다.

많은 기출문제를 풀되

그저 푸는 것에 그치지 않고

문제 하나하나에서 배울 점을 정리하며

더 많은 아이디어를 얻어가야 합니다.

물론 문제마다 얻어갈 수 있는 포인트는 다릅니다.

하지만 쉬운 문제라도 풀고 나면

‘나는 이 문제를 어떻게 풀었나?’

그 과정을 한 번 정도는 꼭 생각해보는 시간이 필요합니다.

그렇게 공부하다 보면

익숙한 문제는 자연스럽게 빨라지고

문제 풀이와 정리 속도도 함께 늘어나게 될 것입니다!

오늘은 260622 문제를 중심으로

기출문제를 어떻게 풀고 정리해야 하는지에 대해 구체적으로 살펴보았습니다.

조금이나마 도움이 되었기를 바랍니다.

260622 풀이도, 그리고 기출분석법도요!

너무 자주 찾아와서 질리는건 아닐까 싶습니다 

이젠 진짜 안녕입니다... :D

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