안녕하세요.

성균관대학교 의예과 25학번, 메가스터디 목표달성 장학생 21기 류성준입니다.

몇 시간 만에 다시 인사드리네요.

이번 칼럼은 6월 모의고사 수학 공통 영역 손풀이와 함께

지난번 '공부법 - 수학(1)'에서 말씀드렸던 내용을 

실제 문제에 어떻게 적용해볼 수 있을지 확인해보는 시간입니다.

수험생으로서 수능 수학을 준비한 지도 어느덧 반년이 넘었네요.

솔직히 말하면, 지금의 저보다 작년 수험생 시절의 제가 더 빠르고, 더 깔끔하게

그리고 더 멋지게 문제를 풀었을 겁니다.

하지만 그때나 지금이나 한 가지는 분명히 같습니다.

기본적인 교과 개념만으로 문제를 푼다  는 점이죠.

물론 실전 개념이나 해석법, 풀이 속도를 높여주는 기술들도 분명히 도움이 됩니다.

하지만 그것들은 어디까지나 교과 개념이 탄탄하게 자리 잡고 있을 때, 비로소 진짜 힘을 발휘합니다.

이번에는 각 문항별로 주의할 점, 간단한 팁

그리고 교과 개념을 바탕으로 한 제 사고 과정을 담아봤습니다.

난이도라는 건 사람마다 느끼는 게 다르지만, 이번 6월 모의 수학 공통 문제는 비교적 쉬운 편이었죠.

그래서 아쉽게도 문제 하나하나에 대해 담아낼 만한 팁이 많지는 않지만

그럼에도 ‘이 문제는 이렇게 접근했다’, ‘이 부분은 이런 개념으로 풀었다’는 

저의 과정을 정리해봤습니다.

조금이나마 도움이 되길 바라며, 차근차근 함께 살펴보도록 하겠습니다.

지난 공부법-수학(1) 칼럼에서 강조했던 내용 리마인드 해볼게요!

a. 문제를 정확히 읽자.

b. 교과 개념에 기반해 풀자.

c. 풀이와 분석은 다르다. - 풀이 후엔 반드시 분석의 시간을 갖자.

d. 문제를 풀기 전에 생각부터 하자. - 손부터 나가지 말자.

e. 실수를 줄이고 싶다면, 풀이와 계산을 분리하자.

1-2페이지

1페이지는 무조건 손으로 풀기로 정해 두었습니다. 

단순히 첫 페이지라서 뿐만이 아니라, 저는 원래 거의 모든 계산을 손으로 쓰며 실수를 줄이는 습관이 있었기 때문입니다. 

이건 제가 1년간 유지해 온 저만의 원칙이기도 합니다.

사실 이 페이지는 암산으로 빠르게 풀 수도 있는 정도지만

저는 암산으로 시간을 줄이기보단 정확하게 풀자는 마인드였기에 늘 손풀이로 시작했습니다.

이 전략 덕분에 한 번도 실수 없이 안정적으로 1페이지를 넘길 수 있었습니다.

6번 문제 팁

너무 기본적인 이야기 같지만, “문제를 정확히 읽는 것”이 핵심입니다.

문제에서 양수 a, b 조건을 놓친다면 말도 안 되게 돌아가서 풀 수 있습니다.

3페이지

9~10번까지는 어느 정도 학습이 되어 있는 학생이라면, 문제를 보는 순간 바로 떠오르는 풀이가 있을 겁니다. 그 풀이로 접근하시면 됩니다.

8번 문제 팁

삼각함수 계산 문제에서 실수가 잦은 학생들이 있습니다. 

저는 늘 사분면을 먼저 체크하고, 구하는 값의 부호부터 따졌습니다.

한 번이라도 실수한 경험이 있다면 꼭 부호 확인부터 하는 연습을 해보세요.

그리고 이 문제의 3번 선지는 0입니다. 

문제 풀면서 크게 신경 안 쓸 수 있는데, cos이 0이 아닐 때만 양변을 cos으로 나눌 수 있다는 점

중요합니다. 

이런 논리적 조건은 습관처럼 의식해주셔야 해요!

4페이지

이제부터는 생각하는 시간을 조금씩 늘려도 됩니다. 

다만 11~14번은 이번 시험에서 꽤나 평이했기 때문에

대부분은 바로 떠오르는 풀이로 접근할 수 있었을 거예요.

11번 문제 팁

위치-속도-가속도 관계를 묻는 매우 기본적인 문제입니다. 

다시 등장한 ㄱㄴㄷ 문제로, 교과서 예제급 난도입니다.

포인트는 운동 방향이 바뀌는 시각 = 속도의 부호가 바뀌는 시각이라는 사실만 기억하시면 됩니다!

12번 문제 팁

역시 평이하게 출제된 수열 문제입니다. 

항과 다음 항 사이의 관계식 두 개가 주어졌고

a₁부터 a₃까지 총 네 가지 경우를 따지면 됩니다.

이 문제는 풀이와 계산이 분리되는 구조예요. 

수형도를 먼저 그려서 가능한 케이스들을 파악하고

이후에는 아래쪽에 계산을 정리하며 답을 구하시면 됩니다.

물론 워낙 쉬운 문제라 이걸 굳이 구분할 필요는 없지만

‘풀이와 계산의 분리’라는 태도를 익히기에는 좋은 연습입니다.

5페이지

평이한 문제들이 이어졌습니다.

13번 문제 팁

A + C = B라는 식은 결국 위쪽 넓이와 아래쪽 넓이가 같다는 뜻입니다.

A - B + C = 0으로 바꾸어 생각하면, 0부터 k까지의 정적분값이 0이라는 해석이 바로 떠올라야 합니다.

만약 넓이를 각각 구하려고 손부터 나갔다면, 이 문제는 꼭 복습하세요!!

사고력 문제로 바뀌었을 때 발목을 잡을 수 있습니다.

14번 문제 팁

문제에서 주어진 길이들을 모두 표시하고 시작합니다.

그리고 언제나처럼 문제를 정확히 읽는 것이 출발점입니다.

기출에서 자주 등장하는 사인비 조건이 나옵니다.

하나의 삼각형 안에서 두 각의 사인비가 주어졌다면, 

사인법칙을 이용해 마주보는 변의 길이비로 해석해야 합니다.

이후엔 다음과 같은 순서로 풀이할 수 있습니다

1. ABC의 외접원의 넓이를 구해야 하므로 외접원의 반지름 R이 필요.

2. R을 구하려면, ABC에서 사인법칙을 써야 하며, 이는 각과 마주보는 변의 길이가 필요함.

3. ABQ 삼각형에서 세 변의 길이가 모두 주어져 있으므로, 공통각인 각 B의 크기를 코사인법칙으로 구할 수 있음.

4. 각 B를 알면, 코사인 법칙을 통해 변 AC의 길이를 알게 되고, 다시 ABC에서 사인법칙을 활용하여 R을 구할 수 있음.

이 모든 것이 “계산 이전에 생각 먼저” 라는 태도로 가능해집니다.

“문제를 풀기 전에 생각부터 하자.”

특히 도형 문제에서 자주 쓰이는 접근입니다.

구하고자 하는 걸 명확히 한 뒤

필요한 값이 무엇인지 역추적하고

이후엔 계산만 하면 됩니다.

15번  

(가) 조건 해석이 핵심입니다.

이번에도 낯선 극한식 조건이 등장했지만

뒤의 21번 문제에서도 언급하겠지만 이러한 낯선 극한식 조건은 교과 개념을 바탕으로 차근차근 해석하면 충분히 풀 수 있습니다.

우선 주어진 극한식은 익숙한 형태입니다. 

바로 미분계수의 형태이며, 특히 x → a⁺ 의 상황이므로 우미분계수로 해석됩니다. 

문제에서 이 우미분계수가 항상 존재하고 0 이하라고 했으므로, 그래프는 전반적으로 감소하는 함수의 형태로 그려질 것입니다.

이 극한식이 존재하려면, x → a⁺ 일 때 분모가 0으로 가므로 분자 역시 0으로 가야 합니다. 

즉, g(a⁺) = g(a) 이어야 하며, 이는 우극한과 함수값이 같아야 함을 의미합니다.

이제 함수의 정의에 따라 x = 1, x = -1을 경계로 함수의 식이 바뀌며

이 구간에서 f(x)의 부호가 바뀌게 됩니다. 

그런데 (가) 조건에 따라 함수가 항상 감소하는 형태를 가져야 하므로

만약 f(x)의 최고차항의 계수가 양수라면 양 끝에서는 증가하는 꼴이 되어 모순입니다. 

따라서 f(x)의 최고차항의 계수는 음수여야 합니다.

또한 x = 1, x = -1을 기준으로 부호가 바뀌는 동시에, 함수가 항상 감소하기 위해서는 해당 지점들에서 그래프가 극값을 가져야 합니다. 

즉, x = -1, x = 1은 각각 극대 또는 극소가 됩니다.

아울러, x = -1에서는 오른쪽 극한이 함수값을 결정하고

x = 1에서는 왼쪽 극한이 함수값을 결정합니다. 

만약 x = 1에서 불연속이라면 함수값과 우극한이 달라질 수 있으므로

x = 1에서는 연속이어야 합니다. 

이 조건을 바탕으로 전체 그래프의 형태가 결정됩니다.

(나) 조건에 따라 y = 13의 위치가 정해지고

x = 1, x = -1에서 극값을 가지며, f’(0) = -6이라는 조건을 통해 도함수를 확정지을 수 있습니다.

이로 인해 극대 - 극소의 값이 정해지고

이후 g(x)의 식에 x = 1-, x = 1+, x = 1 등을 대입해 f(1) 값을 구할 수 있습니다.

마지막으로는 적분상수를 조심해서 계산하면 정답에 도달할 수 있습니다.

결론적으로, “교과 개념에 기반해 차분히 풀자”는 점을 다시 한 번 강조드립니다.

20번

과정을 따라가며 차근차근 (가), (나), (다)를 채워나가면 됩니다.

이 문제는 각 문장을 이해하며 순차적으로 따라가기만 해도 충분히 풀 수 있는 유형입니다. 

핵심은, 문장에서 다음 문장으로 넘어갈 때 이해가 되지 않으면 그냥 넘기지 말고

반드시 다시 읽고 차근차근 짚어보는 태도입니다.

난이도 자체는 높지 않았던 문제입니다. 

다만, 공차가 4라는 점을 단순히 직관에만 의존해 푼 학생이 있다면

한 가지는 꼭 짚고 넘어가야 합니다.

주기함수의 핵심은 ‘함수식이 같다’가 아니라, ‘값이 같다’는 점입니다.

예를 들어, f(x)가 주기 4를 가진다고 해서

f(x) = -x² + 4x 를 4 ≤ x < 8 구간에 그대로 적용하는 것이 아닙니다.

정확히는 f(x) = -(x - 4)² + 4(x - 4) 형태로, x를 4만큼 이동시킨 식이 되어야 합니다.

이 부분을 헷갈리지 않고 짚고 넘어간다면, 비교적 깔끔하게 정답에 도달할 수 있었던 문제입니다.

8페이지

21번 문제 팁

이번 시험에서 15번과 함께 가장 중요한 메세지를 담은 문제입니다.

또 한 번 낯선 극한식이 등장했는데, 핵심은 겁먹지 말고 교과 개념으로 분해하는 것입니다.

첫 번째 극한식:

|f(x)| / f(x)는 f(x)의 부호에 따라 ±1이 됩니다.

따라서 f(x)의 부호가 바뀌는 지점에서는 극한값이 다르게 나올 수 있으므로,

g(x)가 해당 지점에서 0이 되어야 첫번째 극한식에서의 극한이 존재합니다.

즉, g(1) = g(2) = 0 → g(x) = (x-1)(x-2)h(x) 형태.   *h(x)는 최고차 계수가 1인 이차함수

두 번째 극한식:

같은 방식으로 분석하면, |(x-1)(x-2)| / (x-1)(x-2) 부분에서 극한이 존재하지 않으므로,

|h(x)-1|이 해당 지점에서 0이어야 합니다.

→ h(1) = h(2) = 1 → h(x) = (x-1)(x-2) + 1

계산까지 마무리 해주면 됩니다.

“낯설어 보여도 본질은 교과서다.”

22번

이번 공통 시험지에서 가장 까다로웠던 문제라고 생각합니다.

우선, 두 함수의 교점 A를 찾기 위해 두 함수를 연립해야 합니다.

이때 연립하면 치환 가능한 이차방정식 형태가 나오며

가장 먼저 인수분해가 가능한지를 판단해 보는 것이 중요합니다.

양변에 2를 곱해 관찰하면 인수분해가 가능해지고

치환한 범위에 유의하여 해를 결정하면 A의 좌표가 나옵니다.

이제 점 B의 생성 원리를 정확히 파악하는 것이 핵심입니다.

점 B는 다음 두 조건을 모두 만족해야 합니다

• 점 A를 지나며 기울기가 -1인 직선 위의 점

• 함수 f(x) = 2^x-2 - 3 위의 점

여기서 기출 아이디어가 등장합니다.

지수함수나 로그함수와 직선의 관계는 수능에서 자주 다뤄지는 주제이며

특히 기울기를 이용한 직각삼각형 구성, 좌표의 변화량 분석, 평행이동을 활용한 접근 등이 

핵심 아이디어로 자주 나옵니다.

이번 문제도, 함수 2^x-2 - 3을 기울기 -1의 직선 방향으로 평행이동한 형태를 생각해볼 수 있습니다.

밑이 2이고, 점 A를 지나는 지수함수로는 2^x+1이 있습니다.

이 함수는 원래 함수 2^x-2 - 3을 왼쪽으로 3, 위로 3만큼 평행이동한 형태이므로, 기울기 -1의 직선 방향으로 평행이동한 함수가 됩니다.

따라서 AB의 길이는 3루트2 로 결정되고, AB를 지나는 직선의 식을 세운 뒤 원점과의 거리를 구하면 이 값이 삼각형의 높이가 됩니다.

이를 바탕으로 삼각형의 넓이 공식을 적용하면, 최종적으로 원하는 값을 도출할 수 있습니다.

이렇게 6월 모의평가의 주요 문항 해설을 마무리했습니다!

풀이 과정을 글로 정리하려니 다소 어렵게 느껴지기도 했네요.

이번 글에서는 제가 문제를 푸는 방식과 그 흐름을 소개해 드렸습니다.

이후에는 파란 글씨처럼, 여러분도 본인만의 언어로 문제에 대한 코멘트를 남겨보는 연습을 해보셨으면 합니다.

예를 들어

- 해당 유형을 풀며 꼭 기억해야 할 태도

- 막혔던 이유나 헷갈렸던 포인트

- 혹은 문제를 다시 본다면 어떤 아이디어로 접근할지

이런 내용을 짧은 코멘트 형태로 정리해두는 것만으로도 학습 효과는 훨씬 커집니다.

특히 직관으로만 풀었던 문제, 혹은 모든 경우를 다 확인하지 않았던 문제는 

꼭 다시 꼼꼼하게 분석하며, 완벽하게 다시 풀어보는 과정이 필요합니다.

그리고 무엇보다 중요한 건, 문제의 풀이 과정을 ‘말로 설명할 수 있는지’ 확인해 보는 것입니다.

말로 설명할 수 있다는 건, 그 문제를 진짜로 이해했다는 증거니까요.

사실 이번 칼럼에서는 ‘공부법 – 수학(2)’ 주제를 6월 모의평가 문제와 연결해서 쓰려 했는데,

공통 과목 난이도가 예상보다 평이해서 다소 아쉬움이 남습니다.

그래도 문제의 난이도와 관계없이, 항상 기본에 충실한 태도로 문제를 대하는 것이 중요하겠죠!

이번 글에서 다루지 못한 내용들은 다음 칼럼에서 이어서 나눠보겠습니다.

그때도 함께 해주세요!