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[학습법] [6평] 전까진 내실을 다지세요.

한양대학교 의예과 김강민 마스터
등록일 :
2025.05.22
|
조회 :
6,366
학생들이 기본기가 얼마나 무시무시한 건지 많이들 간과하는데, 당연해 보이는 것들만으로 정말 어려운 것까지 풀어낼 수 있는 최강의 궁극기가 기본기입니다. 말로만 하면 별로 설득력이 없으니, 이번에는 일본 동경대 본고사 문제를 통해 그 기본기가 어디까지 뻗어갈 수 있는지 보여드리겠습니다. 이거 보통 다들 훨씬 지저분한 계산으로 푸는데, 

(1) 계수비교법
(2) 근과 계수의 관계
(3) 부등식의 활용

과 같은 고등학교 1학년도 할 수 있는 발상을 바탕으로 처음에 삼차함수를 판단할 때 쓰는 미분법과 삼차함수의 점대칭점(변곡점)을 이용해 극소의 x좌표가 2/3보다 크다는 것을 찾는 과정을 제외하고는 순수 고1과정으로 풀어보죠. 1991년 도쿄대 문과 1번 문제입니다. 당시에 최악의 문제로 평가받았고, 예상 정답률 1%대로 추정하고 있습니다. 쉽게 말해서 이거 풀면 동경대 가는 거예요. 근데 이거, 안 어렵습니다.
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어때요, 풀 만할 것 같죠? 근데 이게 왜 최악의 문제라고 평가받았을까요? 계산이…꽤 지저분합니다. 하지만 일본 교육과정 자체가 한국 수능 체계에 비해 연산에 매우 힘을 주는 경향이 강하니 그러려니 하고 꾹 참고 밀면 되는데, 예상 외로 생각보다 금방 끝납니다. 우선 기본적인 판단부터 해보죠. 

f(x)는 우리가 생각하는 그 일반적인 삼차함수 맞을까요? 아직 모르니 미분을 통해 확인해보죠. 이차함수 f’(x)의 판별식 D가 양수임을 통해, 우리가 생각하는 일반적인 삼차함수 개형임을 알 수 있습니다. 또한, 극소인 x좌표가 2/3보다 크다는 점을 이용해 극소인 점의 x좌표 k에 대해 k>2/3임을 이용해서 다음과 같은 식 정리를 통해 k값을 하나로 확정지을 수 있습니다.


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자, 그럼 k값을 구했으면, 뭘 알 수 있죠? 알 게 별 거 없다고요? 그럴리가요. 이제 이 함수 f(x)에 대한 통제권은 100% 장악할 수 있습니다. 극솟값, 극댓값을 갖는 x좌표는 전부 다 k에 대해 표현이 가능하기에 이 나머지 3개의 x좌표들을 알 수 있고, 이를 구해봅시다.


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그럼 여기까지 구했으면, 뭘 해야 하죠? 주어진 범위가 x=-7/4와 x=3 사이이니 극솟값, 극댓값을 가지는 극대, 극소가 아닌 x좌표에 대해 이 x좌표가 이 범위 내에 있는지 밖에 있는지에 따라 최대 최소가 달라지겠죠? 그러니 이를 위해 각각 따져봅시다.
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생각보다 쉽게 나옵니다. x=-7/4에서 최소였군요. 이제 그냥 x=-7/4를 집어넣어서 계산하시면 최솟값 -143/64 뚝딱 나옵니다.


이제 최댓값을 알아 봅시다. 오 생각보다 쉽게 뚫리는군요. 3이 더 작으니 아직 f(x)의 극댓값까지 증가하지 못 한 채 범위가 끝납니다. 그러기에 주어진 범위 내에서의 f(x) 최댓값은 f(x)의 극댓값과 일치합니다. 이게 조금…계산이 지저분하긴 한데, 그냥 계산 피지컬로 밀어버립시다.
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어떤가요, 저 문제, 나름 공부 잘 한다는 학생들만 지원하는 도쿄대 본고사 문제인데, 정답률이 1%대이었습니다. 그런데, 이 문제를 풀기 위해 별도의 실전 개념이나 묘수가 사용되었나요? 전설에나 나올 법한 용 같은 문제를 해체할 때 막상 사용한 건 길거리에서 주울 법한 흔한 돌, 막대기가 전부였습니다. 

전 이 길이 그 어떠한 것보다도 강력하고 확장성이 있는 길이라는 것에 확신이 있습니다. 이를 스스로 증명하기 위해 일본(예전 한국도) 본고사 문제, 국제 수학올림피아드, 해외 수학 경시대회를 풀어보며 점점 더 확신이 생기고 있습니다. 태산 같은 바위를 깎는 거는 곰의 발톱이 아닌, 수없이 떨어지는 물방울이라는 사실을 기억하며, 6월 평가원까지 묘수를 기대하기보단 철저하게 교육과정 안에 있는 내용 중 절대 모르는 거 하나 없이 채워 넣는 것에 열중하시면 그 노력은 반드시 배로 돌아올 겁니다.
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