다시 돌아왔습니다! 6, 9월에서 할 얘기가 많이 술술 써내려갈 수 있을 줄 알았는데 생각보다 칼럼 하나 하나가 오래 걸리네요... ㅜㅜ 언제까지 제가 칼럼을 쓸 수 있을지 저도 모르겠습니다... 요즘 날씨가 정말 좋습니다! 낮에는 정말 선선하고 얇은 긴팔 입으면 딱 적당한 수준의 날씨가 되었습니다. 하지만 여러분은 공부하셔야겠죠? 물론 저도 그렇습니다... 이제 정말 한 달정도만 남았는데 조금만 더 힘내서 넘어가 수능이 끝난 후 내년에 가벼운 마음으로 옆에는 여자친구와 남자친구와 함께 좋은 시간 보내셨으면 좋겠습니다. (근데 대학 오면 여친 남친 생긴다는거 다 새빨간 거짓말입니다. 수능 끝나고도 또 노력하셔야겠네요?)

주제 2. 수열

-관련문항

24학년도 9월 12번, 21번

24학년도 6월 12번, 15번

23학년도 수능 15번

23학년도 9월 15번

23학년도 6월 12번, 15번

22학년도 수능 21번

22학년도 9월 13번, 15번

이번 주제는 수열입니다. 사실 많이 미뤄뒀던 주제입니다. 제가 이전 칼럼에서 다룬 적이 없던 것 같은데 너무 귀찮았습니다 ㅜㅜ 주제의 근본 자체가 계산인 영역이죠? 아주 끔찍합니다. 특히 손글씨 풀이를 쓸 생각에 벌써부터 너무 행복하네요. 하지만 무조건 나오는 유형이며 최근에는 거의 고정적으로 고난도 번호대(15,22번)에 위치하는데 와중에 수열을원하시던 독자(?)층 분들이 항상 꾸준히 있었기에 마음을 다잡고 준비해보게 되었습니다. 수열은 크게 세 가지로 나뉩니다. 1) 이름이 있는 수열 2) 이름이 없는 수열 3) 수열의 합 이렇게 새 영역입니다. 물론 3번의 경우는 단독으로는 잘 나오지 않고 1번 2번과 스윽 섞여서 나오곤 합니다. 단독으로 나오면 단순한 계산문제뿐이 안되거든요. 그럼 어떤 문항이쉽고 어떤 문항이 어려울까요? 보통 고난도문항에는 이름이 없는 수열이 나옵니다. 대부분의 고난도 문항은 다시 언급드리겠지만 1) 주기와 관련된 규칙 찾기 2) 케이스 분류를 통해 가능한 모든 경우 찾기 정도로 흘러갑니다. 물론 역추론 등의 테마가 섞여서 나오기도 합니다만 이는 풀이과정 내의 이야기이니 큰 틀에서는 제외하겠습니다. 고난도문항에서 주로이름 없는 수열이 나온다고 이름 있는 수열, 즉 등차수열과 등비수열이 쉽다는 이야기는 절대 아닙니다. 사실 이쪽이 더중요해보여요. 일반항을 알기에 그래프나 계산을 적극적으로 활용하여야하며 자체적인 특성도 많이 적용해야하거든요. 이 시간에는 이들의 차이점과 각각을 어떻게 접근해야할지 살펴보도록 하겠습니다.

cf) 최근에는 고난도를 의도적으로 배제하는 추세입니다. 9월 모의고사만 봐도 알겠죠? 15번, 22번 문항대에 원래 나와야할 친구들이 잘 보이지 않아요. 어렵다고 버리거나 하지 마시고 매 시험 한 문항, 많으면 두 문항까지도 출제되는 아주사골 유형이기에 정리를 반드시 해주셨으면 좋겠습니다.

관련문항 1. 21학년도 수능 21

제 기억이 맞다면 수열 문항의 시초같은 문항입니다. 교육과정이 바뀌었던, 수학에서 21번이 초고난도 문항이었던 마지막 해로 기억합니다. (제가 재수했던 해입니다...) 이 문항에서 배울 점은 짝수 홀수로 정의된 수열의 해석입니다. 짝수 홀수로 정의되었다는 것은 무슨 뜻일까요? 말 그대로 규칙이 홀수 짝수 따로 적용된다는 말입니다. 사실 이 문항의 경우 규칙성이 크게 뚜렷하지 않고 그냥 계산 쭉쭉하면 나오긴 하지만 홀수번째 짝수번째 일반항이 따로 정의된 경우는 반드시규칙을 따로 구해주셔야합니다. 여기서 규칙을 구한다는 것은 주기성을 구해야한다는 의미입니다. 특히 일반항의 곱으로이루어진 경우, 예를 들어 a2n-1 = 3a2n*a2n+1처럼 일반항의 정의가 다른 일반항들의 곱으로 이루어진 경우 곱해져있는 일반항의 개수가 곧 주기를 나타낼 가능성이 크다는 것을 기억해주셨으면 좋겠습니다. 위의 예시의 경우는 주기가2의 배수 또는 3의 배수로 나오겠죠?

관련문항 2. 23학년도 9월 15

처음 봤을 때 괴랄하게 생겨서 놀랐던 문항입니다. 그러나 요즘 고난도 문항으로 나오는 수열 문항들의 가장 기본 포멧이기도 합니다. 이 문항처럼 보통 수열이 나오면 일반항의 조건에 따라 정의를 둘로 나누어 줍니다. 그 후 몇 번째 항으로 가능한 것들의 총합을 구하라, 또는 추가 조건을 주면서 몇 번째 항을 구하라 라는 문제 형식이 아주 기본 형태가 되었습니다. 이런 문항에서 가장 중요하게 기억하셔야할 것은 두 가지입니다. 1) 시작 위치를 정할 것 2) 가능한 한 시각화할 것 입니다. 시작 위치는 가장 조건을 많이 엮을 수 있으며 단순하게 표현 가능한 항으로 시작합니다. 이 문항에서는 a4가 해당시작점이 될 것입니다. 그 후 주어진 일반항의 조건을 시각화할 방법을 찾습니다. 이 문항은 5를 기준으로 정의가 나뉘기에 위 아래로 시각화하는 모양새로 표현해줄 겁니다. (뒤 손글씨에 어떻게 하는지 나와있습니다.) 시각화를 왜 시켜줄까요? 수열 문항에서 답을 틀리는 경우를 생각해봅시다. 수열 문항이 고난도로 나와서 틀리면 맨날 ‘아 실수였어’ 하시지 않나요? 아... 아주 안타까운 일입니다. 이 문제 자체가 실수를 유도하는 문항이에요. ‘아 실수였어’ 하는 것은 그냥 틀려야할 이유로 틀린겁니다. 실수를 하지 않는 것 자체가 이 유형을 잘 푸는 겁니다. 마치 확통에서 케이스 빼먹어놓고선 ‘아 실수였어’ 하는 것과 같습니다. 그게 실력인데 그냥 한 두번 일어나는 일이라고 치부하시면 절대 이 유형을 마스터하실 수없을겁니다. 시각화를 시켜주는 것은 이를 최소화하기 위함입니다. 머릿속으로만 생각하시는 것과 눈으로 보는 것은 하늘과 땅 차이입니다. 2n+4와 3n+16 중 무엇이 클까요? 당연히 오른쪽입니다. (당연히 n은 자연수입니다) 하지만 저런숫자가 우다다 나온다면 얘가 더 컸나? 쟤가 더 컸나? 이러다가 틀릴 가능성 21000%입니다. 우리는 멍청하거든요. 국어 비문학 풀때 다 외워서 푸시나요? 그럼 그냥 시각화 안하셔도 좋습니다. 우리는 절대 표기하지 않고 정리하지 않으면까먹습니다. 그러니 가능하다면 반드시 시각화해주시길 바랍니다. 엄청 길게 떠든 이유가 있겠죠? 정말 강조드리는 내용입니다.

관련문항 3. 23학년도 수능 15

앞에서 시각화의 중요성에 대해 말씀드렸습니다. 이 문항 역시 시각화가 중요합니다. 물론 안한다고 틀리는 것은 아닙니다! 하지만 이런 작은 시각화 하나하나가 나중에 시험장에서 학생분의 자신감에 큰 도움을 줄 겁니다. 이번에는 조건이무엇이었나요? 3의 배수인지 아닌지가 중요하죠? 그냥 크기 표현하였던 것처럼 위아래로 나누면 안됩니다. 크기라고 착각하기 아주 쉽겠죠? 이런 경우는 어떻게 표현할지 나중에 아래의 손글씨를 확인해주시길 바랍니다. 혼자서도 어떻게 표현하는게 좋을지 고민해주세요!

관련문항 4. 24학년도 9월 21

이번 칼럼에서 제가 소개해드릴 마지막 문항입니다. 이번에는 등차수열과 수열의 합이 섞여있는 문항입니다. 앞의 세 문항은 모두 이름이 없는 수열에 관한 내용이었습니다. 등차수열과 등비수열은 풀이과정이 매우 다양하지만 항상 막히면계산으로 뚫어가야한다를 상기했으면 좋겠다 생각이 들어 이 문항을 가져오게 되었습니다. 처음에 말씀드렸다시피 이름을 아는 수열의 가장 큰 특징은 일반항을 안다는 것입니다. 조건 두 개만 있으면 무조건 일반항을 계산해서 풀 수 있어요. 하지만 그만큼 잘 까먹는 풀이이기도 합니다. 솔직히 멋 없거든요. 일부러 꾸역꾸역 계산으로, 등차수열의 특징 하나 안쓰고 푸는 과정을 보여드리고자 넣었습니다. 손글씨 풀이 역시 굳이 정리 안하고 지저분하게 계산으로 풀었습니다. 이 문항에서 계산으로 뚫고 가는 법을 다시 한 번 상기해주셨으면 좋겠습니다.

정리를 하자면 이렇습니다.

1)수열문항임을 인지한다.

2)이름 없는 수열이면 우선 1. 시작점을 잡고, 2. 어떻게 시각화할지를 고민하면서 3. 규칙성이 있다면 주기가 몇일지 고민하면서 푼다.

3)등차/등비수열이라면 1. 등차/등비 중항 등의 성질을 고려하고 그래프 등 여러 방법을 동원하여 문제를 풀어보다가 2. 안되면 빠르게 계산으로 들어간다.

4)아주 가끔가다가 직선과 합성한 수열이 나오는 경우 그래프로 그려 풀기도 한다.

정도로 정리가 됩니다. 4번의 경우 이번 칼럼에서 다루지는 않았습니다. 아래 그림처럼 따당따당 하다가 삥삥 도는 문항을 보셨을 수도 있었을 듯 하여 넣어보았습니다. 사설 문항으로는 어디서 봤는지 기억나는데 평가원에서는 기억이 안나더군요 ㅜㅜ 안타깝게 넣지는 못했습니다만 직선과 합성된 경우와 그 합성하는 횟수가 굉장히 많아진다고 하면 한번쯤고민해주시기 바랍니다.

이렇게 세 번째 일이관지 칼럼을 마무리하였습니다. 감사하게도 어떤 분이 일이관지가 무슨 뜻인지 찾아주셨더라고요? 제가 가장 좋아하던 웹툰에서 나온 말이었습니다. 물론 그 웹툰에서는 ‘하나를 알고 그것으로 모든 것을 관통한다.’ 라는대목으로 나왔습니다. 수학도 그렇습니다. 한 유형에 대해 일반화를 제대로 관통시키면 그 굵은 줄기로 새로운 문항들을만났을 때 가지를 뻗어가면서 다 뚫어내실 수 있을 것이라 생각을 해왔습니다. 제가 쓰는 칼럼이 누군가에겐 도움이 될수도, 누군가에게는 일개 대학생이 쓴 똥칼럼일수도 있겠습니다만 단 한 분이라도 이 칼럼을 큰 기둥 삼아 가지를 치면서공부해 시험장에서 날카로운 창으로 사용하실 수 있으셨으면 좋겠네요 ㅎㅎ 저는 다음에 다시 찾아뵙겠습니다.

<손글씨 풀이>

<넣지 못했던 관련 문항들>