안녕하세요. 

성균관대학교 의예과 25학번, 메가스터디 목표달성 장학생 21기 류성준입니다.

오늘도 도움이 될 만한 수학 칼럼으로 돌아왔습니다!

바로 많은 학생들이 어려워하는 “낯선 극한식”을 해석해보는 시간인데요.

같이 풀어볼 문제들은 22학년도 이후 평가원과 교육청 문제 중에서 선별하였습니다.

이번 칼럼의 주제는 이번 6월 모의고사에서 두 번이나 등장한 개념입니다.

물론 문제풀이 경험이 많은 학생이라면 극한식을 외워서 해석하는 경우도 있겠지만

저는 오늘, 현장에서 “낯선 극한식”을 접했을 때 어떻게 해석해야 하는가에 초점을 맞춰 칼럼을 작성해보았습니다.

우선 문제들을 풀어보기 전에

낯선 극한식 해석에 쓰이는 태도와 교과서적 개념을 간단히 정리하고 시작하겠습니다.

이제 문제들을 풀며 조건을 해석해보는 시간을 가져보겠습니다.

첨부파일에 문제지를 올려두었으니

한 문제씩 조건을 해석한 후 (풀어보면 더 좋습니다) 해설을 읽어보시길 바랍니다!

이번 칼럼은 비교적 간단한 내용을 다루고 있으며, 문제 난이도도 많이 높지는 않습니다. 

후반부로 갈수록 점점 더 어려운 주제를 다룰 예정이니

수학 실력이 좋은 학생이라면 이번 내용을 당연한 내용을 한 번 더 복습하는 기회로 삼아주시기 바랍니다!

※ 파란색 글씨는 극한식 조건 해석

※ 검은색 글씨는 나머지 풀이 및 정답입니다

220922

g(x)를 정의하는 과정에서 낯선 극한식이 등장합니다.

꼴을 파악해보면 미분계수와 관련이 있을 것으로 보입니다. – d

절댓값이 분자에 등장하여 당황했을 학생들도 있을 텐데요

이럴 때에는 절댓값 함수 자체를 하나의 함수로 생각하면 간단합니다.

( |f(x)|를 g(x)로 두고 식을 다시 작성해보았습니다.)

*어쩌다보니 또 g(x)를 사용했네요... 설명에만 쓰인 다른 함수라고 생각해주세요!

미분계수 형태로 식을 변형해주고 h를 0⁺로 보내면 해석이 끝납니다. – d

(오른쪽 극한식에서, 분자에 g(x−h)가 있으므로 분모도 x−h로 맞춰야 한다는 점을 잊지 마세요

h가 0⁺로 갈 때, -h는 0^-로 간다는 점도요!)

결국 “|f(x)|의 우미분계수 + 좌미분계수”라는 의미가 됩니다.

이 극한식이 0이 되는 지점이 어떤 지점인지, 또는 불연속이 발생하는 지점이 어떤 곳인지 생각하며 문제를 풀면 됩니다.

*'접하는' 아니고 '접히는'입니다. 오해주의! 

221020

(가) 조건에서 극한식이 등장합니다.

이 문제도 절댓값이 포함되어 있어 어렵게 느껴질 수 있는데요

우선 x를 0으로 보내보면 분모가 0으로 갑니다. – a

따라서 분자도 0으로 가야 한다는 사실을 알 수 있습니다. – c

f(0) = 1이며, f(x)의 식을 작성한 뒤 극한식에 넣어 계산하면 됩니다.

여기서 중요한 점은 극한값이 존재한다는 것은 우극한과 좌극한이 같다는 것입니다. – b

x를 각각 0⁺, 0⁻로 보낸 후 두 값이 같다는 등식을 풀어야 합니다.

이 과정을 거치면 최종적으로 f(x)의 함수 형태가 결정됩니다.

(이 형태는 문제에서 자주 등장하므로 위 설명을 완벽히 숙지하고 외우다시피 적용해도 좋습니다.)

이후에는 주어진 부등식을 만족하는 f(x)의 형태를 결정하면 됩니다. (판별식 이용)

230622

박스 안 조건에 낯선 극한식이 등장합니다.

일단 변수부터 확인해보면, x와 t가 동시에 들어 있고 x가 −3으로 가는 상황입니다.

우선 x를 −3으로 보내봐도 극한식의 의미를 파악하기 어렵습니다. – a

따라서 루트가 포함된 분수를 계산하는 방법 중 하나인 유리화를 떠올릴 수 있습니다.

유리화를 통해 식을 조작한 뒤 극한식을 살펴봅니다.

분모에 (x+3)²가 있으므로 g(x)도 적어도 (x+3)²를 가져야 합니다.

따라서 f(x)의 식을 (x+3)(x−k)로 설정할 수 있습니다.

이후 f(x) 식을 극한식에 넣고 정리한 뒤 x를 −3으로 보내봅니다. – a

그러면 마지막 분수식이 등장하고

이 분수식의 값이 존재하지 않기 위해서는 g(t) = 0이 되어야 합니다. – c

결국 g(x) = 0의 실근은 −3, 6뿐이라는 사실을 알 수 있고

문제에서 주어진 양수 a, b 조건 및 g(x)의 연속 조건을 이용하면 해결됩니다.

(※ “뿐”이라는 조건은 정확하게 해석해야 합니다. 참고 – 240914)

240520

이 문제에서도 낯선 극한식이 등장합니다.

우선 문제에서 항등식이 주어졌으므로 적절한 값을 대입해보아야 합니다.

극한식에서 x가 2로 가는 상황이므로 2를 대입해볼 수 있고,

또한 0을 대입하면 xf(x)가 0이 되므로 0도 대입해봐야 합니다.

대입을 통해 f(2) = g(2)라는 조건이 주어졌으니 극한식에서 x를 2로 보내면

극한값이 존재하면서 분모가 0으로 가기에 분자도 0으로 가야 합니다.

따라서 g(1) = 0이 됩니다. – a, c

이후에는 차수를 결정하고 식을 세워 계산하면 마무리됩니다.

251121

작년 수능장에서 출제되었던 문제이며, 비교적 어렵지 않습니다.

이 문제야말로 태도 a와 c를 갖춘 학생이라면 쉽게 풀 수 있었을 것입니다.

모든 실수에 대해 극한값이 존재한다고 하였으므로,

극한값이 존재하지 않을 것으로 의심되는 상황을 고려해보면 좋습니다.

바로 분모가 0으로 가는 상황과 관련이 있을 가능성이 높습니다. – c

삼차함수는 실근을 적어도 한 개 이상, 많으면 세 개까지 가지므로

분모가 0이 되는 상황이 발생할 수 있습니다. 이 상황을 살펴보며 모순을 찾아내면 됩니다. -a

이후에는 a, b 정수 조건을 p의 정수 조건으로 변환하여 계산하면 문제가 마무리됩니다.

260615, 260621

아직 해당 문제들을 완벽하게 풀지 못했다면 다시 한 번 꼭 풀어보세요.

위에서 이야기한 태도들만으로도 극한식을 충분히 해석할 수 있는 문제일 겁니다.

(자세한 풀이는 이전 6월 모의고사 수학 칼럼에 올려뒀으니, 이번 글에서는 생략할게요!)

오늘은 이렇게 가볍지만 결코 가볍지 않은 주제를 다뤄봤는데요

매번 느끼지만 수학 문제 풀이 과정을 수식이 아닌 

‘글’로 풀어 쓰는 건 아직 저한테 참 어려운 일인 것 같습니다.

수학을 어려워하거나 싫어하는 학생이더라도

앞으로도 그냥 편하게 글 읽는다는 느낌으로, 저랑 같이 수학 공부 이어갔으면 좋겠어요!

그래서 요즘은 부담 없이(?) 읽을 수 있는 수학 칼럼을 자주 올리고 있답니다 ㅎㅎ

(혹시 글을 읽다가 잘못된 부분이 보이거나, 궁금한 점이 생긴다면 비밀 댓글로 남겨주세요!

댓글창에서 다툼이 벌어지면 제 마음이 아픕니다... 공부하기도 바쁜데...)

이번 칼럼도 여러분에게 조금이나마 도움이 되었길 바랍니다 :)

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내일 오후쯤 댓글로 당첨자분들 발표드릴 예정이고, 다음 주 평일 중으로 발송해드릴게요:)

그럼 오늘도 열공입니다!

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