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[학습법] 확통을 쉽게 보는 방법 - 확률

한국교원대학교 환경교육과 이원상 마스터
등록일 :
2022.05.22
|
조회 :
5,849
 ‘수능을 수능답게, 수학을 쉽게 보는 방법.' - '확률과 통계 - 확률 (2)’


  안녕하세요. ‘수능을 수능답게, 수학을 쉽게 보는 방법’의 ‘이원상’입니다.



  너무 오랜만에 찾아뵙게 되어 죄송합니다. 이 글을 접하는, 읽고 계신 모든 분에게 하고 싶은 말이 있습니다. 사실 ‘수학을 쉽게 보는 방법’은 모순이 많은 말입니다. ‘수학’이라는 단원이 대수능 과목 중에서 대체로 가장 어렵다고 느끼는 학생이 많고, ‘수포자’라는 용어가 널리 쓰이고 있는데 대체 어떻게 ‘수학’을 ‘쉽게’ 보는지에 대해서 많은 의문점을 갖고 계실 겁니다.



  그럼에도 불구하고 저는 수험생 여러분들이, 이 칼럼을 읽으면서 수학을 조금이라도 더 쉽게 볼 수 있는 관점이 생긴다거나 ‘수학을 더 열심히 공부해볼까?’라는 생각을 갖게 되셨다면 그것에 저는 제 칼럼이 의의가 있다고 생각합니다. 제 모든 칼럼의 마무리는 여러분의 한 마디, 한 마디가 모여 완성됩니다.



  오늘은 지난 ‘확률과 통계’의 ‘경우의 수’ 단원 이후의 ‘확률’ 단원에 대해서 어떻게 공부해야 하는지 무엇이 핵심인지에 대해서 써보려고 합니다. 그럼 이제 시작하도록 하겠습니다. 모두 제 말 한 문장, 한 문장에 집중해봅시다.



0. ‘확통’에서 ‘케이스 분류’는 ‘생명’이다. (★★★)



- 확률과 통계 (1) 경우의 수’에서 강조했듯이 가장 중요한 것은 ‘케이스 분류’입니다. 미적분, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 등에서도 ‘케이스’를 나눠서 문제를 푸는 경우도 많지만, ‘확률과 통계’에서 ‘케이스 분류’는 절대적으로 중요합니다.



- ‘케이스 분류를 왜 해야합니까?’라는 질문을 많이 받아봤습니다. 답은 굉장히 쉽습니다. ‘여러분들이 더 쉽게 확률과 통계를 풀기 위해서입니다.’ 제 모든 주제는 수학이라는 학문을 알아가기 보다는 수능 수학을 더 쉽게 접근하는 것에 맞춰져 있습니다.



ex) 확률에서의 케이스 분류 문제 : 이원상이 선정한 확률에서 꼭 풀어봐야 하는 문제 TOP3



2018학년도 6월 15번 (가형).


15Q.

- 1, 2, 3, 4의 숫자가 하나씩 적혀 있는 카드가 각각 3장씩 12장이 있다. 이 12장의 카드 중에서 임의로 3장의 카드를 선택할 때, 선택한 카드 중에 같은 숫자가 적혀 있는 카드가 2장 이상일 확률은?



- 이 문제를 직접 풀어보면서 확률에서도 케이스 분류가 나온다는 것을 생각해보셨으면 좋겠습니다. 경우의 수 뿐만이 아니라 확률에서도 ‘케이스 분류’가 중요하다는 것을 알려주는 문제입니다. (물론 이 문제는 여사건으로 푸셔도 됩니다.)



1. 확률의 기본은 ‘A(부분)/S(전체)’로부터 시작된다. (★★★★★)



- 수험생 여러분들은 확률의 정의를 알고 계신가요? ‘A(부분)/S(전체)’는 여러분들이 의식하고 계시지는 않는 ‘확률의 정의’입니다. A 사건이 일어날 확률은 ‘전체 사건의 경우의 수’ 중에서 ‘A 사건이 일어나는 경우의 수’입니다. ‘확률’이라는 개념을 생각해보았을 때 이 말은 너무나도 당연한 말입니다.



  제가 이 정의에 대해서 말하는 이유는 단 한가지입니다. 확률 단원에서 문제를 풀 때 풀이 방법은 두 가지가 있습니다. (1) ‘확률’을 A(사건)/S(전체)로 놓는 ‘경우의 수’로 푸는 방법, (2) ‘확률’을 ‘확률 자체’로 놓고 푸는 방법입니다. 많은 수험생이 문제를 맞았으면 내 풀이가 맞았다며 확신을 갖고 넘어갑니다. 그리고 틀린 경우에는 ‘계산 실수를 했네.’라며 넘어갑니다. 이렇게 넘어가지 말고 제가 이전에 쓴 ‘수학학습법’에 쓰여있듯이 문제를 생각하고 분석하자는 것입니다. 이 모든 시작은 ‘개념’인 ‘정의’로부터 시작됩니다.



ex 1) 주사위 두 개를 던져서 합이 2가 나올 확률을 구하시오.



Sol 1) 확률을 ‘경우의 수’로 푸는 방법


- 주사위 2개로 만들 수 있는 경우의 수는 총 36개입니다. 확률의 정의에 따르면 ‘전체 경우의 수’가 S로 분모에 위치합니다. 그럼 분모가 36이 됩니다.


- 사건은 주사위 두 개를 던져서 합이 2가 나오는 경우는 두 주사위 모두 1의 눈을 갖는 사건 1개 밖에 없습니다. ‘사건 A’의 경우의 수는 A로 분자에 위치합니다. 그럼 분자는 1이 됩니다.


- 전체 경우의 수는 36개, 사건 A의 경우의 수는 1개로 정답은 1/36이 됩니다.



Sol 2) 확률을 '확률 자체'로 푸는 방법


- 주사위 두 개를 던졌을 때 합이 2가 나오는 경우는 두 주사위 모두 1이 나오는 경우밖에 없습니다. 한 주사위에서 1이 나올 확률은 ?입니다.


- 확률의 곱의 정리에 따라서 동시에 일어나는 사건은 ×를 사용합니다. 따라서 두 개 주사위 모두 1의 눈이 나올 확률은 ‘?×?’ = 1/36 입니다.



  두 풀이 방법은 같은 것처럼 보이지만 다릅니다. 두 풀이 각각의 관점을 정확하게 보셔야 합니다. 첫 번째 풀이는 ‘경우의 수/경우의 수’로 확률을 본 것입니다. 두 번째 풀이는 확률을 각 사건의 확률의 곱으로 본 것입니다.(물론 두 번째 풀이에도 ?을 구하는 과정에서 경우의 수로부터 나오는 확률의 정의를 사용합니다.)



- 확률을 경우의 수로 보며 문제를 풀 것인지, 확률의 곱의 정리로 보며 풀 것인지 문제마다 다릅니다. 그렇기에 문제를 잘 읽어보시고, 이해하시고, 생각하셔야 합니다.



2. ‘조건부확률’ : ‘S(전체)를 축소하라’ (★★★)



2-1. ‘~일 때’의 고정관념을 깨라.


- 많은 수험생 여러분들은 ‘~일 때’가 나오면 무조건 조건부확률 문제이다. 라는 말을 너무나도 많이 들어보셨을 겁니다. 저는 개인적으로 이 말은 사뿐히 즈려밟아도 된다고 생각합니다. 지금까지 여러 기출문제와 사설 문제, 시중에 나와 있는 사설 모의고사를 풀어보았다면 ‘~일 때’가 나온다고 무조건 조건부확률이 아니라는 것을 알고 있을 겁니다. ‘~일 때’가 문제에 쓰여있다고 해서 무조건 조건부확률 문제인 것은 아닙니다. 일반적인 확률을 구하는 문제일 수도 있다는 것을 명심하고 계셔야 합니다.



ex 2) 서로 다른 주사위 두 개가 책상에 놓여 있을 때 윗면의 숫자의 합이 5일 확률은?



- 이 문제는 ‘조건부확률’로 푸는 문제가 아닙니다. 일반적인 확률로 접근해서 푸는 문제입니다. 그렇기에 문제를 잘 읽고, 잘 생각하는 것이 중요합니다. 수학은 무작정 푸는 것이 아닌, ‘수학은 THINKING 하면서 푸는 것’입니다.



2-2. 조건부확률 문제가 왔을 때 어떻게 풀어야 하는가?



- 진짜 ‘조건부확률’ 문제가 나왔을 때 어떻게 풀어야 하는 지가 매우 중요합니다. 문제를 잘 읽고 생각하고 나서 이 문제는 ‘조건부확률’로 풀어야하는 문제라는 확신이 드셨다면 보통 3가지 방법 중 한 가지를 사용합니다.



(1) 공식 사용


- 교과서나 문제집에 ‘조건부확률’의 정의를 보시면 P(A|B)라는 공식을 쉽게 볼 수 있습니다. 이 공식을 이용해서 문제를 푸실 수 있습니다. 하지만 이 공식으로 ‘조건부확률’ 문제를 푸시는 분에게는 대단히 죄송하지만, 저는 개인적으로 이 공식을 선호하지 않습니다.


  그래도 이 공식을 통해서 생각해볼 수 있는 것이 있습니다. ‘P(A|B)’라고 했을 때 이 기호의 뜻은 ‘사건 B가 일어났을 때, 사건 A가 일어날 확률’입니다. 이 말은 모든 전제는 사건 B가 일어나야한다는 것을 의미합니다. 확률의 정의는 ‘A(사건)/S(전체)’라고 했습니다. ‘P(A|B)’의 의미에 따르면 분모인 전체는 ‘사건 B’가 되게 됩니다. 그리고 분자는 사건 B가 일어남과 동시에 사건 A가 일어나야하므로 ‘사건A∩사건B’가 됩니다.



  이 말을 정리하자면 원래 확률을 구하는 방법에서 분모는 전체 사건인 S가 됩니다. 하지만 ‘조건부확률’에서 답을 구할 땐 전체인 S가 분모로 가는 것이 아니라, 전체 중 일부인 사건 B가 분모로 가게 됩니다. 즉. ‘조건부확률’은 ‘S(전체)를 축소해서 보아라.’라는 의미를 갖고 있습니다.



(2) ‘표’ 그리기


- 표를 그려서 푸는 것을 선호하신다면 표를 그려서 풉시다. 표를 그려서 푸는 것은 되게 간단합니다. ‘4개의 칸’만 채우시면 됩니다. 하지만 제가 개인적으로 생각했을 때 이 4개의 칸을 각각 어떻게 구하는 과정에서 많은 수험생이 어려움을 겪는다고 생각합니다. 저는 이 어려움을 해결하기 위해서 표를 그리기 보다는 표를 간략하게 그리는 방법을 통해서 문제를 풀고 있습니다.



ex 3) ‘조건부확률’의 기본 문제


2017학년도 7월 13번 (가형).


13Q.

- 어느 고등학교의 전체 학생을 대상으로 생활복 도입에 대한 찬반투표를 한 결과 전체 학생의 80%가 찬성하였고, 20%는 반대하였다. 이 고등학교의 전체 학생의 40%가 여학생이었고, 생활복 도입에 찬성한 학생의 70%가 남학생이었다.
  이 고등학교의 전체 학생 중 임의로 선택한 한 학생이 여학생일 때, 이 학생이 생활복 도입에 찬성하였을 확률은?



  이 문제를 한 번 풀어봅시다. 그리고나서 (2-1)의 ‘수학을 쉽게 보는 방법’의 ‘표’ 그리기를 봅시다.



(2-1) ‘수학을 쉽게 보는 방법’의 ‘표’ 그리기 (★★★★★)



- 제가 문장으로 풀어서 설명을 드리기 보다는 문제를 예시로 알려드리는 것이 더 효율적이라 생각이 되어 2017학년도 7월 13번 문제를 가져왔습니다.



  이 문제를 읽어보면 ‘조건부확률’이라는 것을 떠올림과 동시에 ‘임의로 선택한 한 학생이 여학생’일 때가 전제 조건이 되어 분모에 위치할 것이고, 여학생 중에서 ‘생활복 도입에 찬성’하는 것이 분자에 위치할 것입니다. 이 정도의 기본 생각만 가지고 시작을 해봅시다.



1 Step. ‘전체와 분류 기준’을 생각하자.


- 첫 번째는 ‘전체와 분류 기준을 생각하자’입니다. 이 문제를 읽어보시면 이 집단의 전체는 ‘전체 학생’입니다. 그리고 두 가지의 분류 기준이 제시되어있습니다. ‘여학생, 남학생’과 ‘생활복 도입에 찬성, 반대’입니다. 이렇게 집단의 전체와 분류 기준 2가지를 파악하고 계셔야 합니다.



2 Step. 나누기 쉬운 첫 번째 분류 기준에 따라서 나누기.


- 이 문제를 처음부터 읽어보면 가장 먼저 나오는 ‘분류 기준’은 ‘찬성과 반대’입니다. 그렇기에 전체 학생의 수를 a라고 했을 때 찬성은 80%, 반대는 20%라고 나와있으므로, 찬성한 학생의 수는 0.8a, 반대한 학생의 수는 0.2a가 됩니다. 이런 식으로 전체라는 집단에 대해서 1개의 분류 기준으로 전체를 나누어보니 ‘찬성’한 집단과 ‘반대’한 집단으로 2가지의 가지가 만들어집니다.



3. Step. 나머지 분류 기준에 따라서 나누기


- 첫 번째 분류 기준을 ‘찬성과 반대’로 나누었습니다. 나머지 분류 기준은 ‘여학생과 남학생’인데 이를 생각해보면, 생활복 도입에 찬성한 학생 중에는 ‘여학생’도 있을 것이고, ‘남학생’도 있을 것입니다. 또한, 반대한 학생 중에도 ‘여학생’도 있을 것이고, ‘남학생’도 있을 것입니다.



  한 분류 기준에 따라서 ‘여학생’과 ‘남학생’이라는 2가지의 가지가 각각 생성이 되는 것입니다. 이를 보기 쉽게 아래에 정리해보겠습니다.



                        찬성 여학생

             찬성

             0.8a

                        찬성 남학생

전체 학생

    a

                        반대 여학생

             반대

             0.2a

                        반대 남학생



  이런 모양으로 풀이를 작성해주시면 됩니다. 문제를 이어서 읽어보면 ‘생활복 도입에 찬성한 학생의 70%는 남학생’이라고 합니다. 이 말을 조금만 돌려서 생각해보면 ‘생활복 도입에 찬성한 학생의 30%는 여학생’이라는 것입니다.



                        찬성 여학생 = 0.8a × 0.3

             찬성

             0.8a

                        찬성 남학생 = 0.8a × 0.7

전체 학생

    a

                        반대 여학생

             반대

             0.2a

                        반대 남학생



  이 두 가지를 작성하셨다면 이제 쓰지 않은 조건을 써봅시다. ‘이 고등학교의 전체 학생의 40%가 여학생’이라는 조건이 있습니다. 제 풀이에 ‘여학생’은 두 가지의 집단으로 나누어져있습니다. 생활복 도입에 ‘찬성하는 여학생’과 ‘반대하는 여학생’입니다. 이 두 가지의 수를 더했을 때 전체 학생의 40%인 0.4a가 나오면 되는 것입니다.



                        찬성 여학생 = 0.8a × 0.3 = 0.24a

             찬성

             0.8a

                        찬성 남학생 = 0.8a × 0.7 = 0.56a

전체 학생

    a

                        반대 여학생

             반대

             0.2a

                        반대 남학생



  ‘생활복 도입에 찬성하는 여학생’의 수가 0.24a이기 때문에 자연스럽게 반대하는 여학생의 수는 0.16a가 될 수밖에 없습니다. 또한, 전체 학생 중에서 반대하는 학생의 수가 0.2a라고 했으니 반대하는 ‘여학생’과 ‘남학생’의 수를 더했을 때 0.2a가 나와야하므로 반대 남학생의 수도 구할 수 있습니다.



                        찬성 여학생 = 0.8a × 0.3 = 0.24a

             찬성

             0.8a

                        찬성 남학생 = 0.8a × 0.7 = 0.56a

전체 학생

    a

                        반대 여학생 = 0.16a

             반대

             0.2a

                        반대 남학생 = 0.04a



  이렇게 모든 분류 기준에 따른 집단을 다 작성하셨으면 답만 도출하시면 됩니다. 지금 이 문제가 원하는 것은 ‘전체 학생 중 임의로 선택한 한 학생이 여학생일 때, 이 학생이 생활복 도입에 찬성하였을 확률’입니다. ‘분모’에는 ‘여학생의 수’가 들어오면 되고, ‘분자’에는 여학생 중에서 ‘생활복 도입에 찬성’한 수가 들어오면 됩니다.



분자 = 생활복 도입에 찬성한 여학생 : 0.24a

분모 = 여학생의 수 = 생활복 도입에 찬성한 여학생 + 반대한 여학생 : 0.24a + 0.16a



  이 풀이는 제가 ‘조건부확률’에 대한 수업을 여러 번 해보고 많은 기출문제를 풀어보면서 고민하고, 생각해온 가장 기초적이면서도 가장 빠른 풀이입니다. 이 문제 풀이의 흐름을 읽어보고 느껴보면서 ‘조건부확률’ 문제를 보고 겁먹지 마시고 부딪혀봅시다. 굳이 조건부확률표를 그려가면서 ‘이 자리에는 뭐가 들어가야하지?’, ‘어떻게 구해야할까?’라는 고민을 하지 마시고 제 풀이를 활용하실 수 있다면 해봅시다.



2-3) 표가 아닌 ‘조건부확률’의 풀이법 (★★★★★)



- ‘조건부확률’은 분모인 S(전체)를 축소하라고 위에서 말씀드렸습니다.



ex 4) 주사위 두 개를 던졌을 때 두 눈의 수의 합이 6이 나왔을 때, 두 눈의 수가 같을 확률은?



Solution Way 4)

- 말 그대로, 분모인 S(전체)는 ‘두 눈의 수의 합이 6인 경우의 수’입니다. 그럼 제가 저번 경우의 시간 때 강조했던 ‘노가다’라는 풀이로 접근해봅시다.



  ‘두 눈의 수의 합이 6’인 경우는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)로 총 5가지입니다. 그럼 분모의 자리에는 축소된 S(전체)가 와야하므로 분모는 5가 됩니다.



  여기서 분자를 찾아봅시다. ‘분자는 합이 6이 나왔을 때, 두 눈의 수가 같을 경우의 수’입니다. (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) 중에서 이 조건을 만족하는 경우는 (3, 3)밖에 없기에 분자는 1이 됩니다. 정답은 1/5가 되는 것입니다.



  기본적인 조건부확률의 문제인 경우에는 그 정의인 뜻 자체를 이해하는 느낌으로 문제에 접근하셔야 합니다. 공식에 의존하고, 표에 의존하기 보다는 조건부확률의 느낌을 기억해봅시다. ‘~일 때’의 앞 부분을 보시면서 ‘전체 경우의 수가 축소’된다는 것을 느끼고, ‘~일 때’의 뒷부분을 보시면서 ‘이 사건이 일어날 경우의 수’를 묻고 있다는 것을 느껴야합니다.



3. 독립시행에서의 확률 (★★)



- 독립시행의 경우의 수를 푸실 때와 같은 방법으로 푸시면 됩니다. 단지 경우의 수 대신에 확률이 들어갈 뿐입니다. 독립시행의 경우의 수를 푸는 방법은 공식을 사용하는 것이 대부분입니다. 그 공식에서 ‘사건의 경우의 수’가 들어갈 자리에 ‘사건이 일어날 확률’을 곱해주시면 됩니다.



ex 5) 독립시행과 확률의 문제 그리고 ‘케이스 분류’ (★★★)


2018학년도 6월 17번 (가형).


Q17. 서로 다른 2개의 주사위를 동시에 던져 나온 눈의 수가 같으면 한 개의 동전을 4번 던지고, 나온 눈의 수가 다르면 한 개의 동전을 2번 던진다. 이 시행에서 동전의 앞면이 나온 횟수와 뒷면이 나온 횟수가 같을 때, 동전을 4번 던졌을 확률은?



4. 여사건의 확률, 방심하지 맙시다.



- 여사건의 확률은 충분히 나올 수 있습니다. 제가 이전 확률과 통계 (1) ‘경우의 수’ 칼럼에 올려둔 여사건에 대한 내용을 꼭 먼저 읽어옵시다. 경우의 수 대신 확률로 여사건의 확률을 생각하시면 됩니다.



  확률에서도 여사건을 사용하면 문제 풀이가 훨씬 쉽다는 것을 꼭 명심하고 기억합시다. 여사건을 항상 생각하면서, ‘(1) 경우의 수’ 칼럼의 내용 중 ‘여사건, 적어도, 부등호’를 잘 생각해둡시다. 확률에서도 동일하게 사용될 수 있습니다.



5. 확통에서의 ‘고난도 문제’란. (★★★)



  제 개인적인 생각으로 이전 교육과정에서 ‘확률과 통계’에서 고난도 문제가 나올 확률은 매우 적었습니다. 하지만 교육과정이 바뀌면서 ‘선택과목’으로 ‘확률과 통계’가 분류되기 때문에 ‘고난도 문제’가 출제될 가능성이 매우 높아졌습니다. 그렇다면 ‘확률과 통계’에서 고난도 문제가 출제된다면 어떤 식으로 출제가 될까요?



  제 개인적인 생각으로는 복잡한 ‘케이스 분류’에 대한 문제가 나올 것이라 생각합니다. 이전 ‘(1) 경우의 수’ 칼럼에서 소개해드렸던 ‘2017년 3월 29번(가형)’ 문제처럼 복잡한 ‘케이스 분류’ 문제가 출제되지 않을까 란 생각이 잠시 듭니다.



  수학1, 수학2, 미적분, 기하에서는 고난도 문제를 출제하기에 각각 많은 단원을 갖고 있습니다. 하지만 ‘개념’과 ‘공식’이 절대적인 과목인 확률과 통계에서는 낼 수 있는 영역이 제한적입니다. 그렇기에 확률과 통계에서 고난도 문제를 출제하는 것은 '케이스 분류'가 복잡하고 많은 것이 나올 것이라 생각하는 것입니다.



  그렇다면 지금 ‘확률과 통계’를 선택과목으로 선택한 수험생에게 가장 중요한 것은 '케이스 분류'를 잘하는 것과 'A(부분)/S(전체)'의 문제인지, '연속되는 확률의 곱', '독립시행의 확률'로 문제를 풀어야 하는지 잘 체크하고, 문제를 꼼꼼히 읽는 것입니다.



0. ‘확률과 통계’를 선택한 수험생에게.



  확률은 그렇게 많이 다룰 부분이 상대적으로 경우의 수 보다 적습니다. 경우의 수의 핵심이 대부분 확률에 동일하게 적용되기 때문입니다. ‘노가다’를 경우의 수에 적용할 수 있다면 확률은 경우의 수를 두 번(부분, 전체) 구하는 것이므로 안 풀린다면 똑같이 노가다로 문제를 접근해보시면 됩니다.

  ‘경우의 수’와 ‘확률’ 문제는 쉽게 출제가 될 것이라 생각합니다. 그렇기에 오히려 더 ‘잘 세시고’, ‘잘 곱하시고’, ‘잘 더하시면’ 됩니다.



  ‘수학은 THINKING하면서 푸는 것’이라 앞에 말했습니다. 생각하는게 중요합니다. 만약 당신이 열심히 기출을 분석하고 개념을 차근차근 쌓아올린 상태라면 문제를 봤을 때 처음 느꼈던 그 ‘FEEL’을 믿으시고 풀이를 해봅시다. 기출 분석을 철저하게 하셨고, 제가 쓴 이 칼럼이 이해되신다면 문제를 봤을 때 느낀 그 ‘FEEL’이 절대 당신을 배신하지 않을 것입니다.



  실수하지 마시고 천천히 해봅시다. 6월 모의고사가 점점 다가오고 날씨가 따뜻해지는 이 시점이 많이 힘들겁니다. 분명히 공부량은 늘었는데 할 건 아직 산더미처럼 많을 것입니다. 하지만, 지금 한 시간을, 하루를 공부하지 않으면 십일월의 그 날에 ‘왜 더 공부 안 했을까’, ‘기출 한 번만 더 돌릴걸’, ‘문제 한 번만 더 볼 걸’ 등의 후회가 남을 것입니다.



  그럼 어떻게 해야 할까요? 지금 당장 공부하시면 됩니다. 모르는 건 마스터들에게 맡기세요. 여러분은 연필을 잡고 책을 잡고 개념을 복습하고 암기하고 유형별로 정리하고 풀이법을 암기하시면서 공부하시면 됩니다. 많이 힘들지만, 그만큼 당신의 노력이 빛을 보일 겁니다.



  기본에 충실히 기출문제를 분석하고 끝까지 최선을 다한다면 여러분들이 원하는 결과가 있으리라 생각합니다.



당연히, 제 말이 절대적인 기준은 아닙니다.


하지만, 수험생 여러분이 이 글을 보며, 칼럼을 보며 정리하며 공부했으면 좋겠습니다.


궁금한 점이 있다면 댓글로 남겨주세요.항상 응원합니다.



‘모두 남은 시간 동안 최선을 다합시다.

공부합시다. 이원상 입니다.’




‘흔들리지 않고 피는 꽃이 어디 있으랴

이 세상 그 어떤 아름다운 꽃들도

다 흔들리면서 피었나니’ [도종환 - 흔들리며 피는 꽃 중]




‘수능을 수능답게, 수학을 쉽게 보는 방법.' - '확률과 통계 - 확률 (2)’




(여러 수험생이 제 칼럼을 보고 공부하는 것을 인증으로 남겨주십니다. 감사합니다.

선생님들의 경우 이 글을 사용하실 땐 출처를 간단하게라도 남겨주시면 감사하겠습니다.)
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