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[학습법] 수학1을 쉽게 보는 방법-삼각함수

한국교원대학교 환경교육과 이원상 마스터
등록일 :
2022.05.03
|
조회 :
7,290
‘수능을 수능답게, 수학을 쉽게 보는 방법,’ - 수학Ⅰ- (2) ‘삼각함수’

 

 

안녕하세요. ‘수능을 수능답게, 수학을 쉽게 보는 방법’에 ‘이원상’입니다.

 

 

슬슬 날씨가 따뜻해지고, 햇볕이 뜨거워지고 있습니다. 학교에서는 1차 지필고사가 끝나가고 있고, 체육대회가 가까이 다가오고 있습니다. 하지만 저희가 집중해야 하는 것은 체육대회가 아닌, 이미 지나버린 1차 지필고사가 아닌 모의고사와 대수능에 집중할 차례입니다. 그중 가장 첫 번째 관문이 바로 6월 모의고사입니다. 저도 여러분들을 위해서 열심히 공부하고 정리하겠습니다. 6월 모의고사가 전부는 아니지만, 십일월의 대수능에 도달하기 위한 첫 번째 관문이기에 우리 조금만 더 노력합시다.

 

 

‘수학Ⅰ’ 과목은 크게 ‘지수함수 & 로그함수’, ‘삼각함수’, ‘수열’로 3가지의 단원으로 이루어집니다. 저번 칼럼에서는 ‘지수와 로그’에 대해서 다뤘습니다. 이번 두 번째 칼럼에서는 ‘삼각함수’에 대해서 정리해보려고 합니다.

 

 

1. ‘각’이란.

 

- 삼각함수를 다루기 위해서는 ‘각’이란 것의 개념을 알아야 합니다. 고등학교 수학에서 배우는 ‘각’이란, 지금까지 저희가 알던 ‘각’의 개념과 다르지 않습니다. 초등학교, 중학교 때 배웠고, 알고 있는 개념을 그대로 가지고 가시면 됩니다.

 

 

1-1. ‘육십분법’

 

- 저희가 지금까지 알던 각은 바로 ‘육십분법’이라는 것입니다. ‘육십분법’이란 °(도)를 단위로 나타내는 각의 표현 방법입니다. 직각은 90°, 직선은 180° 이런 식으로 저희가 지금까지 봐왔던 것이 ‘육십분법’입니다.

 

 

1-2. ‘호도법’ (★)

 

- 이제부터 저희가 사용하는 각의 개념은 ‘호도법’입니다. ‘호도법’이란 ‘라디안’을 단위로 갖습니다. 그리고 보통 ‘라디안’을 생략해서 나타냅니다. 예를 들어서 1라디안을 쓸 땐 1이라고 쓰기도 한다는 것입니다.

 

- ‘라디안’은 원으로부터 정의가 나옵니다. 반지름의 길이가 ‘r’인 원에서 호의 길이가 ‘r’인 부채꼴이 이루는 각을 ‘1라디안’이라고 정의합니다.

 

 

1-3. ‘육십분법’과 ‘호도법’의 전환

 

 

- 라디안의 정의에 따라서 부채꼴의 중심각이 1라디안(=1)이라면 이 부채꼴의 호의 길이는 r이 됩니다. 이를 통해서 여러 각을 써보면 중심각이 2라디안인 부채꼴은 호의 길이가 2r이 되는 것입니다.

 

그렇다면 호의 길이가 ‘2πr’이라고 하면 중심각은 몇일까요? 중심각이 2π가 됩니다. 이 과정에서 원에서 호의 길이를 구하는 공식을 통해서 저희는 π(라디안)을 알아낼 수 있습니다. 2π(라디안)이 360°이기 때문에 1π(라디안)은 180°임을 알 수 있습니다. 이를 통해서 π/2는 90°임을 알 수도 있습니다.

 

- 육십분법에서 호도법으로 바꾸는 것은 위의 과정을 거치시면 쉽게 구할 수 있습니다. 위의 과정을 공식화하면 아래와 같습니다.

 

공식 : ‘육십분법’ × π/180° = ‘호도법’ (★)

 

 

2. ‘부채꼴’ = ‘원의 일부’ (★★★)

 

2-1. ‘부채꼴’은 ‘원’으로부터 나온다. (★★★)

 

‘부채꼴’이라는 개념을 수험생들은 선호하지 않습니다. 부채꼴의 호의 길이나 넓이를 구하는 공식들은 쉽게 외우고 사용할 수 있지만, 도형의 모양이 생각보다 불안정하고, 알아야 하는 내용들이 많기 때문입니다. 하지만, 이는 ‘부채꼴’을 별개의 도형으로 인지함으로써 발생하는 것입니다. 저는 ‘부채꼴’을 ‘원의 일부’라고 정의합니다. 그렇기에 ‘부채꼴’이 제시되는 문제인 경우 ‘부채꼴’로만 보는 것이 아니라, 문제에서 그려주지 않은 ‘원’도 같이 생각하면서 접근해야 한다는 것입니다. ‘부채꼴’은 ‘원의 일부’입니다.

 

 

2-2. 부채꼴의 공식

 

? 부채꼴의 호의 길이 : ℓ = rθ

? 부채꼴의 넓이 : S = ½rℓ = ½r²θ

 

  이 두 가지 공식은 꼭 알고 계셔야 합니다. 절대로 잊어버리시면 안 됩니다. ‘ℓ = rθ’, ‘S = ½rℓ = ½r²θ’이 누군가가 물었을 때 바로 나올 수 있게 되셔야 합니다. 비유를 드리자면 이전 고등학교 1학년 때 배운 이차방정식의 근의 공식이나 근과 계수와의 관계, 곱셈공식이 문제를 보자마자 사용하는 것처럼 부채꼴이 문제로 나왔을 경우 공식 사용이 자연스러운 상태가 되셔야 합니다.

 

3. ‘삼각함수’ (★★★)

 

- 삼각함수를 제가 여기서 정의해드릴 수 없고, 그 과정을 소개해드릴 수 없습니다. 간단하게 삼각함수는 ‘원 위의 점의 함수’라고 표현할 수 있습니다. 삼각함수의 정의는 ‘원’ 위의 ‘점’으로부터 시작되기 때문에 이 점을 어떻게 표현하는지가 중요합니다. 이 점을 P(rcosθ, rsinθ)라고 표현합니다. x좌표는 rcosθ, y좌표는 rsinθ라고 표현하며 원으로부터 이 점까지의 직선을 그었을 때 이 직선의 기울기를 tanθ라고 씁니다. 이 개념을 이용해서 여러 공식을 이끌어올 수 있습니다.

 

(1) sin²θ + con²θ = 1 (★)

(2) tanθ = sinθ/cosθ (★)

 

이 관계에 대한 공식은 삼각함수에 있어서 기초에 속하는 관계입니다. 그렇기에 앞으로의 대부분의 문제에 이 관계가 사용될 것이며 절대 잊어서는, 헷갈려서는 안 되는 공식입니다.

 

3-1. 삼각함수의 부호 결정 (★★★)

 

- 삼각함수는 원 위의 점을 좌표로 나타낸 것입니다. 그렇기에 시초선과 동경 사이 각의 크기가 커지면 커질수록 동경과 만나는 원의 좌표도 이동하며 이 사이 각에 따른 원의 좌푯값을 나타내는 삼각함수가 정해지게 됩니다.

 

- 원점에 단위원이 있다고 가정을 해봅시다. 시초선을 x축으로 잡고 시초선과 동경 사이의 각을 넓히며 각이 0부터 ½π가 될 때까지 움직여봅시다. 이 구간에서 원 위의 x좌표, y좌표, 원점과 이루는 직선의 기울기도 모두 양수입니다. 즉 0≤x≤½π 일 때, cos x, sin x, tan x 값이 모두 양수를 나타낸다는 것입니다. (이 구간은 1사분면에 속합니다.)

 

이번에는 시초선과 동경 사이의 각이 ½π에서 π까지 넓혀봅시다. 이 구간에서는 x값이 음수, y값은 양수, 기울기는 음수가 됩니다. 즉, cos x는 음수, sin x는 양수, tan x는 음수를 나타내는 구간입니다. 이런 방법으로 0부터 2π까지 총 4개의 사분면에 대해서 sin, cos, tan의 부호를 확인해주시면 됩니다. 암기를 강요하는 편은 아니지만, 수학은 암기로부터 문제 풀이를 할 수 있기 때문에 제1사분면부터 제4사분면순으로 ‘얼사안코’라고 외웁니다. 1사분면은 ‘ALL’ 모든 수가 양수, 2사분면은 ‘sin’ 값만 양수, 3사분면은 ‘tan’ 값만 양수이며, 4사분면은 ‘cos’ 값만 양수이기 때문입니다.

 

그렇다면 왜 2π까지만 보는지 의문이 들 수 있습니다. 시초선을 x축으로 고정한 상태로 동경과 이루는 각의 크기를 바꿔가면 한 가지의 규칙을 발견할 수 있습니다. 동경이 x축에 시초선과 같은 방향으로 위치하게 되는 각도는 2가지가 보입니다. ‘0’과 ‘2π’입니다. 만약 여기서 한 바퀴를 더 돌리게 된다면 ‘4π’의 값도 같은 값을 이루게 됩니다. 즉, ‘-’값도 주기를 이용해서 구할 수 있고, ‘+’의 큰 값도 2π라는 주기를 이용해서 구할 수 있다는 것입니다.

 

 

3-2. 삼각함수에서 중요한 것 (★★★★★)

 

삼각함수에서 중요한 것으로 3가지를 생각할 수 있습니다.



(1) ‘삼각함수’ : ‘주기’ (★★★)

 

- 첫 번째는 ‘주기’입니다. 개념 수업을 적어도 한번은 들었던 수험생이라면 sin, cos, tan 함수의 주기를 알 것입니다. ‘sin x과 cos x’의 주기는 ‘2π’, ‘tan x’의 주기는 ‘π’입니다. 삼각함수 문제를 풀면서 가장 중요한 것이 주기를 파악하는 것입니다. 암기하고 있는 주기를 구하는 공식을 이용해서 ‘주기’를 구하는 것이 대부분일 것으로 생각합니다. 하지만 예를 들어서 sin|x|의 주기는 몇이냐는 질문을 드린다면 바로 답변하실 수 있으십니까? 그렇다면 |sin x|의 주기는 몇이 될까요? 이런 함수들은 주기를 구할 수 있는 공식이 없습니다. 저희는 이렇게 공식에만 집착하게 되면 안 됩니다.

 

‘공식’을 사용하는 것은 좋지만, ‘공식’을 사용할 수 없는 상황일 때 어떤 방법을 사용해야 하는지 알고 계셔야 한다는 것입니다. ‘삼각함수’에서 ‘주기’를 구하는 ‘이유’는 단 한 가지라고 저는 생각합니다. ‘그래프를 간략하게 그리기 위함’입니다. 주기를 안다면, 함수가 반복되는 구조를 안다면 굳이 반복되는 부분을 그릴 필요 없이 자신이 옆에 써놓는 방법이나 기억함으로써 그래프를 간략하게 그릴 수 있습니다. 이런 순과정을 역과정으로 생각해보면, 그려져 있는 그래프를 보고 ‘주기’를 파악하실 수 있어야 합니다. 즉, 직접 써보고 확인함으로써 함수가 어떻게 그려지는지, 어떤 특징을 갖는지 파악하실 줄 아셔야 한다는 것입니다.

 

 

(2) ‘삼각함수’ : ‘대칭성’ (★★★★)

 

- 두 번째는 ‘대칭성’입니다. 삼각함수에서 ‘대칭성’은 문제의 답을 도출함에서도, 문제 풀이 과정에서도 매우 중요한 특징입니다. ‘근의 합’을 구하는 과정이 대표적인 예라고 할 수 있습니다. 이는 삼각방정식이나 삼각부등식에서도 자주 사용되는 점입니다. sin함수와 tan함수의 경우 기함수이며, cos함수는 우함수를 나타냅니다. 여기서 기함수는 원점대칭의 함수를 말하며, 우함수는 y축 대칭의 함수를 말합니다. 또한, ‘대칭성’은 (3)에서 소개할 ‘평행이동 & 대칭이동’ 부분과 연계해서 문제 풀이에 사용할 수 있습니다.

 

ex) 2019학년도 수능 11번 (가형) (3점)

 

2019학년도 수능 11번 (가형).

 

11Q.

- 0≤θ<2π 일 때, x에 대한 이차방정식 6x²+(4cosθ)x+sinθ = 0 이 실근을 갖지 않도록 하는 모든 θ의 값의 범위는 α<θ<β 이다. 3α+β의 값은?

 

11 Solution Way.

- 이 문제는 삼각함수의 개념뿐 아니라 판별식도 알고 있는지를 묻는 문제입니다. 하지만 제가 지금 다루는 단원은 ‘삼각함수’이므로 판별식에 대한 설명은 생략하도록 하겠습니다. 판별식과 삼각함수의 관계 공식(3번 주제)을 이용해서 sin의 영역을 찾은 후에 sin함수 그래프를 그리면 문제 풀이가 원활할 것입니다. 이후 y=α를 그리시고 대칭성을 이용해서 부등식의 영역을 찾으시면 됩니다.

 

- ‘대칭성’에서 중요한 것은 ‘대칭축’과 ‘대칭점’을 찾는 것입니다. sin함수와 cos함수의 경우 대게 ‘대칭축’을 찾아야 하고, tan함수의 경우 ‘대칭점’을 찾습니다. 물론 sin, cos함수에서도 대칭점을 발견할 수 있습니다. 예를 들어 sin함수의 경우 (0,0)이 대칭점으로 존재합니다. 그리고 x= π/2가 대칭축으로 존재합니다. 이러한 특징을 바로바로 확인하는 경우에 삼각방정식과 삼각부등식에서 원활한 문제 풀이가 가능합니다.

 

 

(3) ‘삼각함수’ : ‘평행이동 & 대칭이동’

 

- 세 번째는 ‘평행이동과 대칭이동’입니다.

 

- 평행이동 : ‘평행이동’으로 알 수 있는 삼각함수의 특징 중 하나는 ‘sin함수’와 ‘cos함수’의 관계입니다. sin과 cos함수는 다른 함수지만 개형이 같은 함수입니다. 그러므로 x축의 방향으로 평행이동을 하는 순간 같다는 것을 알 수 있습니다. 이를 ‘삼각함수의 각 변환’ 파트와 연계해서 공부한다면 삼각함수의 심화 단계로 나아갈 수 있습니다.

 

  ‘tan함수’의 평행이동에서 주의해야 할 점이 있다면 ‘점근선’입니다. tan함수가 x축 방향으로 평행 이동함에 따라서 ‘점근선’도 같이 x축 방향으로 평행이동 한다는 점을 꼭 명심하셔야 합니다.

 

- 대칭이동 : 위의 주제(2) ‘대칭성’과 함께 본다면 삼각함수 그래프에서 적용할 수 있는 ‘대칭이동’은 크게 2가지입니다. ‘x축대칭’, ‘y축대칭’입니다. 물론 주제(2)와 비슷한 관점으로 삼각함수에 접근하는 것입니다.

 

(3-1) ‘x축대칭’

- 함수 그래프를 ‘x축대칭’을 한다면 함수 그래프를 그릴 때 x축으로 대칭한 상태로 그래프를 그리시면 됩니다. 물론 함숫값들은 전부 x축대칭 상태로 기존 함수와 비교했을 때 절댓값은 같지만, 부호가 다른 값을 나타내게 됩니다.

 

(3-2) ‘y축대칭’ (★★)

- ‘우함수’인 ‘cos함수’는 y축을 기준으로 대칭이동을 해도 값이 달라지지 않습니다. 반면, ‘기함수’인 sin함수와 tan함수는 y축으로 대칭이동을 하면 값이 달라집니다.

· cos(-θ) = cosθ

· sin(-θ) = -sinθ

· tan(-θ) = -tanθ

 

 

4. 삼각함수의 ‘각변환’ (★★★★★)

 

- 삼각함수의 각변환에서 주의해야 하는 것은 2가지입니다. ‘주기성’과 ‘대칭성’입니다. 제가 지금부터 설명해드리는 각변환에서의 ‘주기성’과 ‘대칭성’은 삼각함수 그래프의 모습이 아닌 단위원에서의 좌표를 말하는 것입니다.

 

※ 만약 제 설명이 어려우시다면 노트에 단위원을 하나 그리시고 원 위에 좌표 P를 찍으신 후에 원점과 이은 후 x축과 이루는 각의 크기를 θ, 점 P의 x좌표는 cosθ, y좌표는 sinθ를 표시하시면 됩니다. (쉬운 이해를 위해서 제1사분면에 점P를 만드시는 것이 좋습니다.)

 

추가) 단위원에서 점 P를 찍었을 때 이 점의 x값은 cosθ, y값은 sinθ, 원점과의 직선의 기울기는 tanθ임을 알고 계셔야 합니다.

 

4-1. ‘주기성’

 

- 단위원을 한 바퀴 도는데 필요한 각은 2π입니다. 즉 점 P와 점 P에서 θ+2π의 각을 더한 점 Q를 비교했을 때 x값과 y값, 원점과의 기울기가 같다는 것을 알 수 있습니다.

 

· cos(θ) = cos(θ+2π) = cos(θ±2nπ) : ‘cos함수’의 주기는 ‘2π’

· sin(θ) = sin(θ+2π) = sin(θ±2nπ) : ‘sin함수’의 주기는 ‘2π’임을 알 수 있습니다.

 

- 이번에는 점 P에서 π만큼 이동한 점을 Q라고 해봅시다. 점 P와 점 Q를 비교했을 때 같은 것이 보일 겁니다. 각 점에서 원점까지 이은 기울기가 같습니다.

 

· tan(θ) = tan(θ+π) = tan(θ±nπ) : 'tan함수'의 주기는 'π'임을 알 수 있습니다.

 

4-2. ‘대칭성’

- 단위원에 똑같이 점 P를 찍으시고 대칭이동해서 만드는 점 Q와 ‘x값’, ‘y값’, ‘원점과의 기울기’를 비교해볼 것입니다.

 

(1) ‘x축대칭’

- 점 P에서 x축 대칭을 해서 점 Q를 찍으면 비교할 3개가 어떻게 다른지 보일 것입니다. 점 Q가 x축과 이루는 각의 크기를 -θ라고 표현하셔도 되고, 2π-θ 라고 표현하셔도 됩니다. x좌표는 같은 값을 나타내지만, y값과 원점과의 기울기는 부호가 다른 값을 나타냅니다.

 

· cos(-θ) = cosθ

· sin(-θ) = -sinθ

· tan(-θ) = -tanθ

 

(2) ‘y축대칭’

- 이번에는 점 P에서 y축 대칭이동을 해보면 점 Q가 x축과 이루는 각의 크기는 ‘π-θ’입니다. 이 두 개의 점의 각 3개의 값을 비교하면 이렇습니다.

 

· cos(π-θ) = -cosθ

· sin(π-θ) = sinθ

· tan(π-θ) = -tanθ

 

(3) ‘y=x 대칭’

- 이번에는 점 P에서 y=x 그래프를 기준으로 대칭이동을 해봅니다. 기준은 제1사분면에서 했을 때 점 Q가 이루는 각의 크기는 ‘π/2-θ’입니다. y=x 그래프를 기준으로 대칭이동을 하면 x값과 y값이 교차하기 때문에 이를 인지하면서 직접 해보시면 좋을 것 같습니다.

 

※ Solution Way

- 점 P의 좌표를 (cosθ, sinθ) 라고 했을 때 이를 y=x 그래프 대칭이동을 시킨 점 Q의 좌표는 (sinθ, cosθ)가 됩니다.

 

(4) ‘원점대칭’

- 원점대칭을 해서 점 Q를 만들면 이루는 각의 크기가 'θ+π'입니다. 이를 생각하면서 어떤 값이 차이가 나는지 고민해보시면 좋을 것 같습니다.

 

제가 알려드릴 수 있는 ‘삼각함수의 각변환’의 전부입니다. 삼각함수란 본디 단위원의 좌표를 찍는 것으로부터 정의되기 때문에 삼각함수 문제가 출제되었을 때 단위원을 이용해서 풀이를 할 수 있다는 생각을 함께하시면 좋을 것 같습니다. (물론 그래프를 통한 풀이가 좋을 때도 있지만, 단위원으로도 풀이가 가능하다는 점을 알고 계셔야 합니다.)

 

 

5. ‘삼각방정식 & 삼각부등식’ (★★★★★)

 

- 어떤 사람들은 ‘삼각방정식’과 ‘삼각부등식’이 다르다고 합니다. 하지만 저의 관점에서 이 두 가지는 절대 다르지 않습니다. 물론 의미하는 바가 다를 순 있지만, 문제 풀이를 하는 과정은 ‘동일’합니다. 수능 수학에서의 대부분의 문제에서 나오는 ‘방정식’은 ‘미지수인 해의 값’을 구하는 것이고, ‘부등식’은 부등식의 해를 구하는 것으로 ‘미지수의 해의 범위’를 구하는 것입니다.

 

 

5-1. ‘그래프를 그려라.’ (★★★★★)

 

- 제가 ‘삼각방정식’과 ‘삼각부등식’의 문제가 나왔을 때 드리고 싶은 말은 ‘그래프를 그려라’ 입니다. 방정식을 식 그대로 보는 관점도 있지만, ‘두 개의 함수 그래프의 교점’으로 보는 관점이 있습니다. 삼각방정식과 삼각부등식에서는 ‘후자’의 관점으로 접근하시는 게 좋습니다.

 

예를 들어 ‘0≤x<2π 범위에서 sinx = ½을 만족하는 x의 값은?’이라고 문제가 출제된 경우 저는 주저 없이 0≤x<2π 범위에서의 y=sinx 그래프를 그립니다. 그리고 y=½을 그리고 두 함수의 교점을 찾는 것입니다. 이 문제처럼 x의 값이 특수각을 나타낸다면 ‘식 그대로 보는 관점’으로 보셔도 상관없지만 x의 값이 만약 특수각이 아니라면 ‘함수 그래프의 교점’으로 보는 관점으로 문제 풀이를 하셔야 합니다.

 

문제의 난도가 어렵지 않다면 특수각이 출제될 가능성이 높다고 생각합니다. 하지만, 문제의 난도가 올라간다면 특수각이 아닌 각으로 출제가 될 수 있다고 생각합니다. 그렇기에 삼각방정식과 삼각부등식의 문제가 나왔을 경우 ‘그래프’를 직접 그려봄으로 교점을 파악하며 근의 값이나 근의 영역을 찾아가는 것이 필요합니다.

 

 

※ 부탁드리겠습니다. 그래프를 그리는 데 시간이 오래 걸리지 않습니다. 파도가 치듯 ‘꿀렁’ 한번 그려주시고 직선 한 번 긋는 것이 그렇게 어렵지도 않습니다. 저는 ‘그래프’를 그리지 않는 수험생들을 보며 ‘왜 그래프를 그리지 않는가?’란 질문을 저 자신에게 수없이 물으며 그 이유를 고민해보았지만, 도저히 더 효율적인 풀이를 생각해내지 못했습니다. ‘특수각’이 나오지 않았을 경우, 그래프를 그리지 않고 ‘대칭성’을 이용하지 않고 삼각방정식과 삼각부등식을 풀 수 있다면 어떻게 문제를 푸시는 건지 너무나도 궁금합니다. (물론 단위원을 이용해서도 문제 풀이가 가능합니다. 이것은 각자의 선호의 차이에 있습니다.)

 

만약에 ‘특수각’이 출제가 되었더라도 그래프를 그리지 않고 문제 풀이를 빠르게 할 수 있는 수준에 도달하였다면 그래프를 그리지 않으셔도 됩니다. 하지만 조금이라도 자신이 값을 생각하는 시간이 걸린다면 ‘그래프를 그려서 교점’을 찾읍시다.

 

 

6. 삼각함수의 도형 ‘활용’ (★★★★)

 

- 이 주제에 대해서 정리하기 전에 만약 이 글을 읽고 있지만, 중학교 도형에 대한 베이스가 없으시다면 도형 파트에서 고득점은 힘들 수도 있습니다. 그렇기에 중학교 도형에 대해서 어느 정도 알고 계셔야 도형 파트를 쉽게 접근할 수 있고, 문제 풀이를 원활하게, 효율적으로 할 수 있습니다.

 

※ “선생님. 수능 수학 범위는 ‘수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 선택과목 1개’인데 왜 중학교 도형 지식이 필요한가요?”라고 많이 묻습니다. 이전에 배웠던 모든 개념이 쌓여서 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 선택과목을 이루는 것이고 이전 범위도 출제범위에 속합니다. 이는 대학수학능력시험 홈페이지에 들어가셔서 출제 의의를 찾아보시면 나올 겁니다. 저희는 초등학교 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법을 배웁니다. 고등학교 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법 ‘½×밑변×높이’를 배우진 않지만 사용하고 있습니다.

 

※ 삼각형의 넓이 공식, 사각형의 넓이 공식에 대해서는 생략하도록 하겠습니다. 수학Ⅰ을 공부하는 수험생이라면 이 공식에 대해서는 너무나도 잘 알고 있으리라 생각됩니다. 여기서 한 가지 하고 싶은 말이 있다면 ‘신발끈 공식’에 너무 집착하지 않았으면 좋겠습니다. 중학교 때, 고등학교 1, 2학년 때 자주 사용하던 너무나도 위대한 공식이지만, 다른 여러 좋은 풀이가 있음에도 불구하고 x축과 y축을 그리며 도형을 좌표화하지 않으셔도 좋습니다. 수학Ⅰ에서는 도형은 도형으로만 보아도 충분하다고 생각합니다. (물론, 좌표화하는 것이 선을 넘는다고 생각하진 않습니다만, ‘굳이’라는 생각이 듭니다.)

 

 

6-1. ‘sin법칙’ (★★★★★)

 

‘사인법칙’은 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 했을 때, ‘삼각형의 세 내각의 사인의 값의 비’와 ‘마주 보는 변의 길이의 비’가 서로 같다는 것을 말하는 법칙입니다.

 

 

(1) ‘외접원이 주어졌을 때’ (★★★★)

 

보통 사인법칙을 이용하는 경우는 ‘외접원이 주어졌을 때’입니다. 외접원의 반지름이 사인법칙의 공식에서 직접적으로 제시되기 때문에 ‘외접원’이 문제에 출제되었을 경우 사인법칙을 사용할 가능성이 매우 높다고 할 수 있습니다. 사각형에 외접하는 경우도 동일합니다. 사각형에서 대각선을 잇는 경우 삼각형 2개로 나눠지기 때문에 이 또한, 삼각형의 외접원으로 볼 수 있습니다.

 

 

(2) ‘일반적인 삼각형’ (★★★★★)

 

‘외접원이 주어지지 않았을 때’도 ‘사인법칙’을 이용할 줄 아셔야 합니다. 사인법칙에서 '=2R'을 빼고 앞의 식만을 보면 ‘사인의 값과, 마주 보는 변의 길이의 값’만을 볼 수 있습니다. 이를 통해서 사인법칙은 ‘원에 내접하는 삼각형’과 분리하여 일반적인 삼각형에서도 적용할 수 있는 법칙임을 알 수 있습니다.

 

※ 주의

- ‘삼각형의 외접원’이 문제로 출제되었다고 해서 무조건 ‘사인법칙’을 이용하는 것은 아닙니다. ‘코사인법칙’을 이용할 수도 있고, 기존에 알고 있는 여러 도형의 공식들을 이용할 수도 있습니다.

- 또한, 일반적인 삼각형의 경우에도 ‘마주 보는 변의 길이’와 ‘내각의 사인 비’를 적용할 수 있다는 것을 기억하고 적용했으면 좋겠습니다.

 

 

6-2. ‘cos법칙’ (★★★)

 

- ‘코사인법칙’은 ‘사인법칙’에 비해서 조금 난도가 낮다고 할 수 있습니다. 단순히 삼각형이 주어졌을 때 공식을 알고 있다면 사용할 수 있는 것이기 때문입니다.

 

· 공식 : c² = a²+b²-2abcosC

 

- 하지만 ‘어떤 수험생’을 보면 ‘코사인법칙’이 사용되는 경우를 외우는 경우가 있습니다. 암기를 하는 것은 좋지만, 모든 경우의 수를 공식화, 암기화를 하게 되면 내가 외우고 있는 것과 조금이라도 다르게 나오면 개념을 적용하지 못하는 경우가 생기게 됩니다. 저도 코사인법칙을 언제 적용해야 하는지 알고 있고, 외우고 있습니다. 하지만 이를 무조건적으로 대입하며 문제 풀이를 하지 않습니다. 처음에는 암기로 접근하지만, 십일월의 실전에서는 암기가 아닌 ‘경험’으로 문제 풀이를 했으면 좋겠습니다.

 

‘암기’를 통해서 여러 문제를 풀다 보면 이 경우에 ‘sin법칙을 사용하면 좋을 거 같아’. ‘cos법칙을 사용하면 될 거 같아.’ 등이 경험을 통한 체화의 과정 중에 있다고 생각합니다. ‘두 변의 길이와 끼인각이 주어진 경우 마주 보는 변의 길이를 구하는 방법’ = ‘cos법칙’ 이라는 공식으로 문제에 접근하는 것은 좋지 않다고 생각합니다. 평가원에서 어떻게 도형을 출제할지 모르기에 여러 삼각함수 도형 활용 문제를 풀어보며 ‘경험치’와 ‘sin, cos법칙의 유형 분석’이 필요하다고 생각합니다.

 

 

0. ‘삼각함수’를 공부하는 수험생에게.

 

제가 이렇게 ‘삼각함수’를 열심히 정리한 적이 없습니다. 여러분이 제 정리를 보는 것이 이번 년이 마지막이었으면 좋겠습니다. 수학Ⅰ에서 삼각함수의 난이도를 감히 평가하자면 ‘상’입니다. 어렵습니다. 많은 수험생이 어려워하는 단원입니다. 하지만 개념을 잡고, 기출문제를 분석하며 ‘경험치’를 쌓다 보면 삼각함수를 쉽게 다룰 수 있는 단계에 이를 수 있다고 생각합니다.

 

마지막으로 ‘삼각함수’에서 중요한 한 가지를 말씀드리면, ‘그래프를 잘 그리자’입니다. ‘삼각함수’ 말 그대로 ‘함수’입니다. ‘지수, 로그함수’ 파트에서도 정리를 해드렸지만 ‘함수’는 식으로 보는 관점과 ‘그래프로 보는 관점’이 있습니다. ‘제발 그립시다.’ 식으로 볼 때보다 그래프로 직접 그리며 보면 훨씬 특징이 잘 보입니다. 그래서 ‘잘 그리는 것’이 중요합니다.

 

‘삼각함수 도형’에서 마지막으로 하고 싶은 말은 ‘다 쓰자’입니다. 자신이 알고 있는 길이는 다 쓰시고, 아는 각은 다 쓰고 문제에서 제시한 도형을 다시 봅시다. 그러면 직각삼각형이 보이고, 이등변삼각형이 보이고, 새로운 것이 보일 것입니다. 알고 있는 것은 모두 직접 도형에 쓰는 여러분이 되었으면 좋겠습니다.

 

기본에 충실히 기출문제를 분석하고 끝까지 최선을 다한다면 지금처럼 뒤숭숭한 날이 아닌 ‘따스한’ 십일월을 마주할 것으로 생각합니다.

 

당연히, 제 말이 절대적인 기준은 아닙니다.

하지만, 수험생 여러분이 이 글을 보며, 칼럼을 보며 정리하며 공부했으면 좋겠습니다.

 

 

궁금한 점이 있다면 댓글로 남겨주세요.

항상 응원합니다.

 

 

‘모두 남은 시간 동안 최선을 다합시다.

공부합시다. 이원상입니다.’

 

 

‘맑은 햇빛으로 반짝반짝 물들으며

가볍게 가을을 날으고 있는 나뭇잎’ [정한모 - 가을에 중]

 

 

‘수능을 수능답게, 수학을 쉽게 보는 방법,’ - 수학Ⅰ- (2) ‘삼각함수’


(여러 수험생이 제 칼럼을 보고 공부하는 것을 인증으로 남겨주십니다. 감사합니다. 선생님들의 경우 이 글을 사용하실 땐 출처를 간단하게라도 남겨주시면 감사하겠습니다.)
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한국교원대학교 환경교육과 이원상 마스터
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